Estoy leyendo a través de estas notas de Etingof en la teoría de la Representación y estoy atascado con un ejercicio (problema 4.69 en las notas). El problema es el siguiente.
Considerar el espacio $X=Mat_n(\mathbb{C})^k$ $k$- tuplas de $n\times n$ matrices complejas. Tiene acción natural de la $GL_n(\mathbb{C})$, que es por la simultánea de la conjugación. Esta acción induce la acción en el espacio $k[X]$ de funciones polinómicas en $X$.
Pregunta: demostrar que el álgebra $k[X]^{GL_n}$ de polinomios invariantes es generado por las funciones de la forma $(A_1,\dots,A_k)\mapsto trace(w(A_1,\dots,A_k))$ donde $w$ es sólo una palabra en $k$ letras.
Incluso hay una pista. Es decir, integrar el espacio de polinomios con fija de grado $d_i$ en la variable $A_i$ a $End(\mathbb{C}^n)^{\otimes \sum d_i}$ y el uso de Schur-Weyl dualidad.
Yo no entiendo muy bien cómo utilizar esta sugerencia. Schur-Weyl dualidad me dice cómo decomope una representación de la forma $V^{\otimes r}$ $GL(V)\times S_r$- módulo. Supongo que en mi caso $V$ debe $End(\mathbb{C}^n)$. Pero en mi caso el grupo es $GL_n$, no $GL_{n^2}$. Me estoy perdiendo algo? Puede usted, por favor, que me ayude con este ejercicio?
Muchas gracias por su ayuda!
