He estado pensando sobre el cálculo de la función inversa a través de series de Taylor de las expansiones. Mi hipótesis era que si teníamos f(x)=∞∑n=0(x−x0)n!fn(x0), then f−1(x)=∞∑n=0(x−x0)n!(f−1)(n)(x0). Aquí sería posible calcular los derivados (f−1)(n)(x0) a través de la función inversa a la derivación del teorema, pero para que esto funcione debemos tener la derivada de la inversa de f igual a la inversa de la derivada de f, es decir, (f−1)′=(f′)−1(1). In general this does not hold; take for example f(x)=x2.
Para formular mi pregunta, supongamos que tenemos un diferenciable bijective mapa de f:A→B con bijective derivados. Su inverso f−1 es también diferenciable bijection. Asumir la derivada de la función inversa también es bijective.
Para intentar encontrar una función para la que (1) mantiene, yo era capaz de deducir (de (1)) que si una función existe, debemos tener f(x)=(f′∘f′)(x)(2).
Es evidente que esto no se cumple para cualquier polinomio ni (estoy casi seguro) para cualesquiera otras funciones elementales. Así que, ¿existe una función para la que se cumple esta condición?
Derivando (2): (f′)−1(x)=(f−1)′(x)=1(f′∘f−1)(x)⟺(f′∘f−1)(x)=1(f′)−1(x). A continuación, la asignación por f desde la derecha da f′(x)=1(f′)−1(f(x)) y la asignación por 1f′ desde la izquierda 1f(x)=(1f′∘f′)(x)⟺f(x)=1(1f′∘f′)(x)=11(f′∘f′)(x)=(f′∘f′)(x)
