¿Tiene el producto cruzado una identidad? Es decir, ¿existe algún $\vec{id}\in \mathbb{R}^3$ tal que $$\vec{id} \times \vec{v} = \vec{v}\times \vec{id} = \vec{v} $$ para todos $\vec{v}\in \mathbb{R}^3$ ?
La respuesta debe ser no porque $\vec{id}\times \vec{v}$ es perpendicular a ambos $\vec{id}$ y $\vec{v}$ y el único vector que es perpendicular a sí mismo es el $0$ vectorial. Así, $\vec{id}\times \vec{v}=\vec{v}$ si $\vec{v}=\vec{0}$ no importa qué $\vec{id}$ es, por lo que esto no puede ser cierto en general.
Tal vez sea aún más fácil. Supongamos que tal vector $\vec{id}$ existe. En primer lugar, hay que tener en cuenta que $\vec{id} = 0$ no funciona, por lo que $\vec{id} \ne 0$ .
Aplicando la propiedad deseada con $\vec{v} = \vec{id}$ obtenemos $$\vec{id} \times \vec{id} = \vec{id}$$ Por antisimetría, cualquier vector cruzado por sí mismo es 0. Así que esto es una contradicción.
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Su pregunta no es clara. ¿Son todos estos "vectores" de la identidad los mismos? ¿Cuál es su pregunta?
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Mi pregunta es que dado $\vec{u}\in\mathbb{R}^3$ ¿hay $\exists \vec{v}\in\mathbb{R}^3$ tal que $\vec{v}\times\vec{u}$ = $\vec{u}\times\vec{v}$ = $\vec{u}$ .
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@Jack Espero que mi edición refleje correctamente la pregunta. Estoy de acuerdo en que la redacción original no era clara si esperaba $v$ o $i$ era la identidad. En cuanto a tu pregunta Ratón, debes saber que si $u\times v = w$ que $\langle u,w\rangle = \langle v,w\rangle = 0$ . Es decir, el resultado del producto cruzado de dos vectores es un tercer vector que es perpendicular a los dos originales. Si esa identidad existiera, todo vector sería perpendicular a sí mismo. Contradicción.
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Así que básicamente estás diciendo que sólo si $\vec{v}=\vec{0}$ existe un $\vec{id}$ que produce $\vec{v}$ cuando se cruza con $\vec{id}$ y cualquier identificador de vector puede desempeñar ese papel?
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@JMoravitz: +1 por su edición.
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¿Me dejas incrustar tu problema en $\Bbb{R}^4$ . Es decir, reformular como: "¿Existe un vector $\vec{v} \in \Bbb{R}^4$ tal que para todos los vectores $\vec{u}=(x,y,z,0)$ (un subespacio de $\Bbb{R}^4$ que es un espacio vectorial isomorfo a $\Bbb{R}^3$ ), tenemos $\vec{u} = \vec{v} \times \vec{u} = \vec{u} \times \vec{v}$ ?".
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@EricTowers , si quieres hacerla como una nueva pregunta siéntete libre, pero no veo editar esta para que se lea $\mathbb{R}^4$ para ser coherente con este problema específico, ya que dice.
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¿Por qué deben limitarse los productos cruzados a $\Bbb{R}^3$ ? Su primera frase pregunta por los productos cruzados sin especificar un espacio.