¿Tiene el producto cruzado una identidad?

Question

¿Tiene el producto cruzado una identidad? Es decir, ¿existe algún $\vec{id}\in \mathbb{R}^3$ tal que $$\vec{id} \times \vec{v} = \vec{v}\times \vec{id} = \vec{v}$$ para todos $\vec{v}\in \mathbb{R}^3$ ?

Answer 1

La respuesta debe ser no porque $\vec{id}\times \vec{v}$ es perpendicular a ambos $\vec{id}$ y $\vec{v}$ y el único vector que es perpendicular a sí mismo es el $0$ vectorial. Así, $\vec{id}\times \vec{v}=\vec{v}$ si $\vec{v}=\vec{0}$ no importa qué $\vec{id}$ es, por lo que esto no puede ser cierto en general.

Answer 2

Obsérvese que para cualquier vector potencial de identidad $\vec u$ tenemos $$\vec u \times \vec v + \vec v \times \vec u = \vec 0$$ para cualquier vector $\vec v$ .

Answer 3

Tal vez sea aún más fácil. Supongamos que tal vector $\vec{id}$ existe. En primer lugar, hay que tener en cuenta que $\vec{id} = 0$ no funciona, por lo que $\vec{id} \ne 0$ .

Aplicando la propiedad deseada con $\vec{v} = \vec{id}$ obtenemos $$\vec{id} \times \vec{id} = \vec{id}$$ Por antisimetría, cualquier vector cruzado por sí mismo es 0. Así que esto es una contradicción.