Demuestra que $a^2 = b$ en un campo $\mathbb{F} = \{0,1,a,b\}$

Question

Necesito ayuda para demostrar lo siguiente:

Sea $\mathbb{F} = \{0, 1, a, b\}$ sea un campo con cuatro elementos. Demostrar que $a^2 = b$ .
Puede utilizar $a \cdot 0 = 0$ sin demostrarlo.

Solución intentada:

$$ a^2 = b \\ aa = b \\ aa + 0 = b + 0 $$ Sabemos que $a \cdot 0 = 0$ por lo que podemos sustituir por cero $$ aa + a \cdot 0 = b $$ Utilizando la inversa aditiva de $aa$ obtenemos: $$ (aa) + (-aa) + a \cdot 0 = b + (-aa) \\ a \cdot 0 = b + (-aa) $$ Sigo sin entender el concepto de cómo demostrar las cosas, tal vez un poco de comprensión de lo que son posibles pasos para abordar problemas como estos.

Eso es lo más lejos que llegué, cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Considere que el mapa $x \mapsto ax$ debe ser biyectiva (porque el campo es finito, debería ser fácil de demostrar). Lo sabemos, $$a \cdot 0 = 0$$ $$a \cdot 1 = a$$ Es decir $a\cdot a = b$ o $a \cdot a = 1.$ Pero en este último caso obtenemos $a \cdot b = b,$ lo que implica $a = 1,$ lo cual no es cierto (por unicidad de 1).

Answer 2

Tenga en cuenta que $0$ y $1$ son elementos distinguidos, por lo que ninguno de los otros debe ser igual a ellos. Ahora bien, $b \cdot a$ no puede ser igual a $a$ o $b$ porque entonces $b$ o $a$ sería $1$ respectivamente, pero eso no puede ocurrir ya que son elementos distintos. Análogamente, $b \cdot a$ no puede ser $0$ . Por lo tanto, $b \cdot a = 1$ .

Utilice este tipo de razonamiento para pensar qué $a^2$ no puede sea, y encontrará la respuesta: ¿qué es $a$ si $a^2 = 0$ ?