Problema de matrices: $AB=B$ y $BA=A$, ¿qué es $A^2+B^2$?

Question

¿Si $A$ y $B$ son dos matrices tales que el $AB=B$ y $BA=A$, entonces el $A^2+B^2$ sería iguales a?

Answer 1

$$\begin{align}A^2+B^2&=(BA)(BA)+(AB)(AB)\ &=B(AB)A+A(BA)B\ &=B(BA)+A(AB)\ &=BA+AB\ &=A+B\end {Alinee el} $$

Espero la ayuda.

Answer 2

Uno puede preguntarse ¿qué estas condiciones significa geométricamente.

La reclamación. Si $AB=B$$BA=A$, en tanto $A$ $B$ son proyecciones sobre el mismo subespacio $U\subset X$. En particular,$A^2=A$$B^2=B$.

Prueba. Uno ha $A=BA=ABA=A^2$, y del mismo modo para $B$. De ello se deduce que tanto $A$ $B$ son proyecciones sobre subespacios $U_A$, $U_B\subset X$.

Desde $B\restriction U_B$ es el mapa de identidad en $U_B$ la condición de $AB=B$ implica que el $A\restriction U_B$ es el mapa de identidad en $U_B$. Esto implica $U_A\supset U_B$, y de manera similar a una prueba $U_B\supset U_A\>$.$\quad\square$

Por otro lado ${\rm ker}A$ ${\rm ker}B$ no tienen por qué coincidir, como en el ejemplo $$A=\left[\matrix{0&0\cr 0&1\cr}\right],\quad B=\left[\matrix{0&0\cr -1&1\cr}\right]$$ muestra.