El problema de los agujeros de las colmenas necesita ayuda

Question

Supongamos que tienes una secuencia 2014, 20142014, 201420142014, . . . Demuestra que hay un elemento en esta secuencia tal que es divisible en 2013.

Este es un problema que tuve en un examen y sé que debe ser un problema de agujeros, pero me preguntaba si alguien podría ayudarme a encontrar una solución.

Todo lo que pude averiguar fue que si divides el 2013 a la primera pareja siempre tendrás un resto de 1. Además, tus números serán 1, 10001, 100010001, etc. Estaba pensando que tienes 2013 lagunas y sigues dividiéndote en la secuencia hasta que llegas a los restos de 2013, pero siento que no estoy abordando este problema de la manera correcta ¿Podría alguien ayudarme a resolver esto? Aunque el examen ha terminado, me gustaría continuar mis estudios y entender problemas como estos.

Answer 1

Deben existir dos de esas cosas que son congruentes entre sí $ \bmod 2013$ ya que hay congruencias finitas $ \bmod 2013$ pero una cantidad infinita de esas cosas, las sustrae para obtener algo de la forma $20142014 \dots201400\dots0 $ que es un múltiplo de $2013$ dividido por diez tantas veces como sea necesario para obtener un número de la forma $20142014 \dots2014 $ que sigue siendo un múltiplo de $2013$ .

Answer 2

Es posible resolverlo sin el principio del pinchazo:

Por el teorema de Euler, $$10000^{ \varphi (2013)}-1 \equiv 0 \pmod {2013}$$

Entonces.., $10000$ es una raíz del polinomio $$X^{ \varphi (2013)-1}+X^{ \varphi (2013)-2}+ \cdots +1$$ en $ \Bbb Z_{2013}[X]$ .

Answer 3

Nótese que ningún número de la secuencia puede ser congruente con $0 \pmod {2013}$ porque la multiplicación repetida de $3$ da la secuencia periódica $3,9,7,1$ como último dígito. Así que como hay un número infinito de números enteros y el número de restos distintivos es $2013$ bastará con considerar primero $2014$ los números de la secuencia. Con PHP algunos dos de ellos darán el mismo resto. Por lo tanto, hecho.