Factor $x^2+2x+2$ $\mathbb{F}_3/(x^2+1)$

Question

Se me pide que encontrar dos raíces de $x^2+2x+2$ $\mathbb{F}_3[x]/(x^2+1)$ (la construcción de Kronecker). Los elementos de campo que son (clases de equivalencia) constante o lineal de los polinomios en $\mathbb{F}_3[x]$, por lo que debe ser capaz de escribir $x^2+2x+2=(nx+m)(px+q)$ y, en virtud de la equivalencia dada por el kernel $x^2+1=0$, encontramos que este es $x^2+2x+2$. Pero después de mucho scratch-documento de trabajo (la comprobación de que cada combinación con la mano) yo lo único que han logrado a mí mismo caminando en círculos. Agradecería si alguien pudiera caminar a través de mí este problema.

(Principalmente estoy confundido, ya que $x^2=-1$, no es $x^2+2x+2=2x+1$? Así que ¿cómo puede haber dos raíces?)

Answer 1

Usar el nombre$x$ tanto para el indeterminado del polinomio como para el indeterminado de la extensión de campo es solo pedir problemas.

Así que factoricemos$y^2+2y+2$ en$\Bbb F_3[x]/(x^2+1)$.

$y^2+2y+2 = (y+1)^2+1 = (y+1)^2 - x^2 = (y+1-x)(y+1+x)$