"Resumen absurdo" prueba de la división lema

Question

Como en la parte de "hablar" del artículo de wikipedia, la prueba se realiza con elementos de un conjunto y funciones. Supongo que es posible realizar exclusivamente con "objetos" y "flechas"

¿Que voluntarios para hacer eso?

Edición: Si es posible sin ese Freyd incrustar thm mencionados en la charla.

Answer 1

Notaciones: La breve secuencia exacta divisiones en la izquierda

$$ 0 \longrightarrow A \underset{\underset{\phi}{\longleftarrow}}{\overset{f}{\longrightarrow}} B \overset{g}{\longrightarrow} C \longrightarrow 0 \quad, \quad \phi\circ f =\mathrm{id}_A$$

Quieren mostrar que la $B \cong A\oplus C$

$\underline{1)} $ $\ P:= f\circ \phi $ es un idempotente ($P\circ P=P$)

En un abelian categoría, cualquier flecha tiene un núcleo y una cokernel (de ahí también la imagen y coimage) por lo $P$ se divide en $ B \overset{j_P}{\longrightarrow} \mathrm{Im}(P) \overset{i_P}{\longrightarrow} B $ ( recordemos def. de imagen, epi mono factorización en un abelian categoría)

Con estas dos observaciones (en particular. $j_P$ epi, $i_P$ mono), uno puede mostrar que $j_P$ es en realidad una izquierda inversa de a $i_P$ y $j_P\circ f$ es en realidad un isomorfismo $A \cong \mathrm{Im}(P) $

$\underline{2)} $ Un abelian categoría ha hom conjunto de abelian grupos, por ejemplo, $(\mathrm{Hom}(B,B),+)$ es un grupo abelian, por tanto, tiene sentido definir $Q := \mathrm{id}_B -P$

Como previamente se $Q$ factorizes como $Q=i_Q \circ j_Q$ y se verifica que $$ j_P\circ i_Q = 0 \quad ,\quad j_Q \circ i_P = 0 $$

$\underline{3)} $ Los dos mapas de $\ i_P: \mathrm{Im}(P)\rightarrow B\ ,\ i_Q: \mathrm{Im}(Q)\rightarrow B $ se define por la característica universal de la subproducto de un mapa de $\Phi: \mathrm{Im}(P)\coprod \mathrm{Im}(Q) \rightarrow B$ (esto también se podría haber escrito $i_P+i_Q$, + simbólicamente si no estábamos en un abelian categoría )

y los dos mapas de $j_P : B \rightarrow \mathrm{Im}(P)\ ,\ j_Q : B \rightarrow \mathrm{Im}(Q) $ un mapa de $\Psi: B\rightarrow \mathrm{Im}(P)\prod \mathrm{Im}(Q)$

El uso de $j_{P/Q}\circ i_{P/Q} = \mathrm{id}_{\mathrm{Im}(P/Q)}$ y la igualdad en $\underline{2)}$ (y también con la def. biproduct) se verifica el isomorfismo $B\cong \mathrm{Im}(P)\oplus \mathrm{Im}(Q)$, o $$ \Phi\circ \Psi =P+Q = \mathrm{id}_B\quad \text{and} \quad \Psi\circ \Phi =\mathrm{id}_{\mathrm{Im}(P)\oplus\mathrm{Im}(Q)}$$