Una consecuencia de la hipótesis del continuo

Question

Un conjunto $S \subset \omega_1 \times \omega$ es un gran rectángulo si $S = A \times B$ donde $A$ es incontable, y $B$ es infinito.

Asumiendo la hipótesis del continuo, ¿existe necesariamente un conjunto $T \subset \omega_1 \times \omega$ tal que todo rectángulo grande interseca ambos $T$ y su complemento?

Answer 1

Sí, es cierto. Dejemos que $T_{\alpha}\subseteq \omega$ sea una familia de conjuntos y defina $T=\bigcup\limits_{\alpha<\omega_1}\{\alpha\}\times T_{\alpha}$ . Queremos que los conjuntos $T_{\alpha}$ tenga la propiedad de que para cada infinito $B\subseteq\omega$ , $$B\cap T_{\alpha}\neq \emptyset$$ $$B\cap (\omega - T_{\alpha})\neq \emptyset$$ ambos son válidos para todos menos para un número contable de $\alpha<\omega_1$ .

Dicha familia puede construirse utilizando CH, de la siguiente manera, sea $B_{\alpha}$ sea una enumeración del tipo de orden $\omega_1$ de todos los subseteq infinitos de $\omega$ . Para definir $T_{\beta}$ sólo necesitamos un conjunto tal que

$$B_{\alpha}\cap T_{\beta}\neq \emptyset$$ $$B_{\alpha}\cap (\omega -T_{\beta})\neq \emptyset$$ Para todos $\beta<\alpha$ .

Esto es fácil de conseguir si $B_i:i<\omega$ sea una enumeración de los conjuntos $B_{\alpha}$ para $\alpha<\beta$ y para cada $i$ eligió $x_i,y_i\in B_i$ y el lugar $x_i\in T_{\beta}$ y $y_i\in \omega-T_{\beta}$ . Por lo tanto, en cualquier etapa hay un número finito de prohibiciones $x_j$ y $y_j$ pero como $B_i$ es infinito siempre existe una opción. Esto construye $T_{\beta}$ y por lo tanto $T$ .

Answer 2

Aquí está mi redacción de la misma prueba... ¿en qué me estoy equivocando?

Dado que $CH \rightarrow \omega_1$ puede estar bien ordenado, que $\langle X_{\alpha} \ | \ \alpha < \omega_1 \rangle$ denotan una ordenación de pozos de todos los subconjuntos $X \subseteq \omega$ . Crearemos conjuntos $T_{\beta} \subseteq \omega$ por recursión como sigue:

Paso 0: $T_0 = \emptyset$

...

Paso $\beta$ : Para todos $X_{\alpha}$ con $\alpha < \beta$ encontrar algunos $x_{\alpha,\beta}, y_{\alpha,\beta} \in X_{\alpha}$ de tal manera que podamos colocar $x_{\alpha,\beta} \in T_{\beta}$ y reclamar $y_{\alpha,\beta} \notin T_{\beta}$ para todos $\alpha < \beta$ .

Ahora podemos definir el $T$ de la siguiente manera:

$$ T = \bigcup_{\beta < \omega_1}\{\beta\} \times T_{\beta}$$

Consideremos ahora un rectángulo grande y arbitrario $S \subseteq \omega_1 \times \omega$ . Mirando sólo el $\omega$ componentes de $S$ Llámalo $B$ podemos decir $B = S_{\alpha}$ para algunos $\alpha < \omega_1$ . Para todos los $\beta > \alpha$ tenemos algunos $x_{\alpha,\beta} \in S_{\alpha}$ y $x_{\alpha,\beta} \in T_{\beta}$ . Porque $A$ es incontable y $B$ es contablemente infinito, podemos encontrar un $(\tau, x_{\alpha,\beta})$ ...y estoy atascado...