Momento cuántico (De Broglie)

Question

La hipótesis de de broglie sugiere que una partícula puede asociarse a una onda de momento $p = \hbar k$

mi pregunta es la siguiente: ¿cómo se llega a este concepto de momento de una onda?

Entiendo la definición clásica de momento, sin embargo no veo una extensión obvia a un objeto como una cuerda de guitarra vibrando.

¿Dice De Broglie que si tengo una cuerda de guitarra vibrando y la longitud de onda de la vibración disminuye, entonces el momento de la cuerda de guitarra aumenta? ¿Es cierto que una cuerda de guitarra que vibra a una frecuencia(tiempo) más alta tiene mayor energía? ¿es cierto que una cuerda de guitarra que vibra a una frecuencia espacial más alta también tendrá mayor energía? etc.

Lo siento si este ejemplo de cuerdas de guitarra es malo... sólo estoy tratando de entender esto correctamente

Answer 1

En la relación de de Broglie $p=\hbar k$ el lado izquierdo representa el momento de un partículas mientras que el $k$ a la derecha es el número de onda de un onda . La clave aquí es que para que la relación sea válida, la onda tiene que tener la amplitud adecuada para representar exactamente una partícula.

Por ejemplo, supongamos que tenemos una onda luminosa que representa exactamente el valor de un fotón de luz. Tiene una energía y una frecuencia determinadas, relacionadas por $E=\hbar \omega$ y un determinado momento y número de onda, relacionados por $p=\hbar k$ .

Supongamos ahora que tomamos esa onda luminosa y aumentamos su amplitud (es decir, la intensidad de sus campos eléctrico y magnético) en un factor de 2. Dado que la energía de una onda es proporcional al cuadrado de su amplitud, esto cuadruplica la energía. También cuadruplica el momento. (Esto se puede comprobar utilizando la relación relativista $E=pc$ para m=0, o utilizando el vector de Poynting). Pero no hemos cambiado $\omega$ o $k$ por lo que esta onda viola las relaciones de De Broglie. La clave aquí es que esta onda ya no tiene la fuerza adecuada para representar un fotón. Representa cuatro fotones.

Juguemos con algunos números en el caso de la cuerda de guitarra. Digamos $\omega$ es 1000 Hz, y $E$ es 1 J. Al calcular $\hbar\omega$ se obtiene algo muchos órdenes de magnitud más pequeño que esto $E$ . Eso es porque no hay una sola partícula en la cuerda de la guitarra, hay muchas. La misma idea se aplica al momento.

Answer 2

La suposición que Plank hizo de su Ley de Planck de la radiación del cuerpo negro era que la radiación electromagnética está cuantizada, sólo toma múltiplos enteros de la cantidad $hf$ donde $h$ es el Constante de la plancha (con unidades de energía $\times$ tiempo) y $f$ es la frecuencia de radiación (con unidades 1/tiempo). Es la energía del cuanto de radiación electromagnética: un fotón.

Así, en primer lugar la constante de Plank $h$ fue definida por Plank como una constante de proporcionalidad entre la energía $E$ de un fotón y la frecuencia de su onda electromagnética asociada.

$E=hf$

Esto se puede reescribir en términos de la longitud de onda, en lugar de la frecuencia, utilizando la relación $f=c/\lambda$ . Tenemos:

$E=\frac{hc}{\lambda}$ (1)

Además, a partir de la relación energía-momento de la relatividad especial $E^2=m^2 c^4 + p^2 c^2$ sabemos que para un fotón con masa en reposo nula, $m=0$ su energía está relacionada con su momento a través de la relación

$E=pc$ (2)

Combinando las ecuaciones (1) y (2) obtenemos:

$p=\frac{h}{\lambda}=\hbar k$ donde $\hbar=\frac{h}{2\pi}$ et $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ .

De Broglie supuso que las partículas también tienen propiedades ondulatorias, es decir, frecuencia y longitud de onda, y esto se ha demostrado experimentalmente. Son partículas y ondas al mismo tiempo. Las propiedades ondulatorias de las partículas vienen dadas por las ecuaciones de De Broglie:

$f=\frac{E}{h}$ et $\lambda=\frac{h}{p}$

Así, para una energía de partícula dada $E$ e impulso $p$ podemos encontrar su frecuencia y longitud de onda.