$R/I$ $I$ Dónde está un primer Ideal

Question

Un resultado bien conocido en álgebra conmutativa dice: para un anillo comutativo $R$ $1$ $R/I$ es un dominio Integral si y solamente si es un primer Ideal de $I$ $R$. ¿Puede generalizar este resultado para los anillos no conmutativos?

Answer 1

Si $R$ es no conmutativa anillo, hay dos diferentes nociones de primer ideales, ambos de los cuales son equivalentes a la definición habitual en el caso de $R$ es conmutativa.

Una correcta ideal $P$ $R$ es un primer ideal si equivale a las siguientes condiciones.

1. Ideales para $I$, $J$ de $R$ si $IJ \subset P$ $I \subset P$ o $J \subset P$.
2. Para la izquierda ideales $I$, $J$ de $R$ si $IJ \subset P$ $I \subset P$ o $J \subset P$.
3. Para el derecho ideales $I$, $J$ de $R$ si $IJ \subset P$ $I \subset P$ o $J \subset P$.
4. Para todos $a$, $b \in R$, si $aRb \in P$, $a \in P$ o $b \in P$.

Una correcta ideal $P$ $R$ es un completo primer ideal si, para todos los $a$, $b \in R$, $ab \in P$ implica $a \in P$ o $b \in P$.

De ello se desprende que un ideal $P$ $R$ es completamente un primer ideal si y sólo si $R/P$ es un dominio (en el sentido de que $R/P$ es un valor distinto de cero anillo que no tiene ningún cero divisores excepto para $0$ sí; no es necesario ser conmutativa).

Un anillo en el que $0$ es un alojamiento ideal se llama un primer anillo. Por lo tanto un ideal $P$ $R$ es primo si y sólo si $R/P$ es un primer anillo.

Cada cebar completamente ideal es un alojamiento ideal. Lo contrario es cierto para conmutativa de los anillos, pero no en general para no conmutativa anillos. Cada ideal maximal es un alojamiento ideal, pero no necesariamente completamente prime. Por ejemplo, este es el caso en cualquier simple anillo, que no es un dominio.

Por lo tanto, si $K$ es un campo, entonces $M_n(K)$ es un primer anillo (la única correcta ideal, $0$, es un alojamiento ideal). Sin embargo $M_n(K)$ no es completamente principal para $n > 1$ desde hay no trivial cero divisores. En la matriz de anillo $M_n(\mathbb Z)$ ($n>1$) cada número primo genera un primer pero no completamente, el primer ideal, ya que el $M_n(\mathbb Z)/pM_n(\mathbb Z) \cong M_n(\mathbb Z/p \mathbb Z)$ es un primer anillo, que no es un dominio.