¿para qué valores de$\alpha \in \mathbb R$ es$f$ integrable?

Question

¿Para que valores de $\alpha \in \mathbb{R}$ es $f$ integrable?

$$f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}: f (x, y) = x \frac{\ln(1 + x^2 + y^2)} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ \alpha} $$

Si $ (x,y) \neq (0, 0) $ y $ f(0, 0) = $ 2015.

He intentado resolver esta cuestión por el cambio de variables a coordenadas polares pero no podía.

Answer 1

$f$ es integrable si y sólo si ${3\over 2}<\alpha < {5\over 2}$. Las coordenadas polares son realmente útiles. Escribir $(x,y)=r(\sin\theta,\cos\theta)$ y, a continuación, usted tiene $$f(x,y)dxdy=f(r,\theta)rdrd\theta=\sin\theta r^{2-2\alpha} \log(1+r^2)drd\theta$$ $f$ es claramente continua de distancia desde el origen tan sólo tenemos que comprobar lo que sucede cerca de cero y "cerca de" el infinito.

En un pinchazo en un barrio de el origen, la dependencia de la $f$ $r$ es de la orden de $r^{4-2\alpha}$ (debido a $\log(1+r^2)/r^2\to 1$$r \to 0$) así, por $f$ a ser integrable cerca del origen necesitamos $4-2\alpha>-1$. Ahora, cuando $r\to\infty$ necesitamos el poder de la $r$ menor que $-1$, $2-2\alpha < -1$. La combinación de estas dos desigualdades para $\alpha$ da el resultado como se indicó anteriormente.