Ejemplo de una fibra de una categoría

Question

Mar el funtor $P_{\mathcal{F}}: \mathcal{F}\longrightarrow{\mathcal{C}}$. Zócalo de la onu objeto $U$$\mathcal{C}$, la fibla de $\mathcal{F}$ sobre $U$ denotada por $\mathcal{F}(U)$ es la subcategoría de $\mathcal{F}$ cuyos objetos son los objetos $\xi$ $\mathcal{F}$ con $P_\mathcal{F}\xi=U$ y cuyas flechas hijo flechas $\phi$ es $\mathcal{F}$ con $P_\mathcal{F}\phi=id_U$.

Estoy queriendo un ejemplo en donde tengamos dos objetos $U$ s $V$ es $\mathcal{C}$ que son isomorfos pero tal que $\mathcal{F}(U)$ es vacío pero $\mathcal{F}(V)$ no lo es. Muchas gracias.

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Traducción al inglés:

Deje $P_\mathcal{F}:\mathcal{F}\to\mathcal{C}$ ser un functor. Dado un objeto $U$$\mathcal{C}$, la fibra de $\mathcal{F}$$U$, que se denota por a $\mathcal{F}(U)$, el de la subcategoría de $\mathcal{F}$ cuyos objetos son los objetos $\xi$ $\mathcal{F}$ $P_\mathcal{F}\xi=U$ y cuyas flechas son flechas $\phi$$\mathcal{F}$$P_\mathcal{F}\phi=id_U$.

Estoy queriendo un ejemplo en el que tenemos dos objetos $U$ $V$ $\mathcal{C}$ cuales son isomorfos, pero tal que $\mathcal{F}(U)$ está vacía, pero $\mathcal{F}(V)$ no lo es. Muchas gracias.

Answer 1

Que $\mathcal{C}$ ser tu categoría favorita con dos objetos $U$ y $V$ que son isomorfo pero no iguales. Que $\mathcal{F}$ ser la subcategoría completa de $\mathcal{C}$ cuyo único objeto es $V$, y que $P_\mathcal{F}:\mathcal{F}\to\mathcal{C}$ ser el functor de la inclusión. Entonces $\mathcal{F}(U)$ está vacío pero no es $\mathcal{F}(V)$.

Más generalmente, no hay ninguna razón para pensar que un isomorfismo entre $U$y $V$ debería reflejarse en las fibras de $\mathcal{F}$, ya que no puede ser ese isomorfismo en la imagen de $\mathcal{F}$.