Polinomio mínimo sobre un campo

Question

Tengo algunos problemas con este ejercicio:

Deje $a$ $b$ ser los siguientes elementos de $\mathbb{Q}(T)$:
$a:=T^3+T$ $b:=T^2 -2$
Calcular el minimalpolynomial de $b$$\mathbb{Q}(a)$, y el uso de la respuesta para encontrar un polinomio distinto de cero $f\in \mathbb{Q}[X_1,X_2]$ tal que $f(a,b)=0$

Ahora la primera pregunta sería ¿no $\mathbb{Q}(T^3+T)=\mathbb{Q}(T)$ cierto, porque puedo trabajar con $T$ como base y por lo tanto se puede construir $a$$b$? O hacer los elementos en $\mathbb{Q}(T^3+T)$ aspecto: $1,(T^3+T),(T^3+T)^2...$?
Ahora, más de la $\mathbb{Q}[X]$ esto sería $X-T^2+2$, pero estoy un poco confundido acerca de $\mathbb{Q}(T^3+T)$. También supongo que $f$ $f:X_1-T^3+T +X_2-T^2+2$ si $a,b\in\mathbb{Q}[X_1,X_2]$ pero no sé si son elementos de...

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Como se explica en los comentarios que tenemos toda la razón para buscar un cúbicos mínimo polinomio. Así que comenzamos por calcular $$ b^2=T^4-4T^2+4,\qquad b^3=T^6-6T^4+12T^2-8. $$ Queremos escribir alguna combinación lineal de potencias de $b$ en términos de potencias de $a$. Como el mayor poder de $T$ ocurren por encima de fue $T^6$ es natural sospechar que sólo necesitamos $a$$a^2=T^6+2T^4+T^2$. Esto sugiere que debemos buscar una combinación lineal de $b^3$ $b^2$ que coincide con el grado $6$ $4$ términos de $a^2$. Esa combinación es $$ b^3+8^2=T^6+2T^4-4T^2+24=a^2-5T^2+24. $$ Estoy seguro de que usted puede encontrar constantes $c_1,c_2\in\Bbb{Q}$ tal que $c_1b+c_2=5T^2-24$. Esto le da la solución $$b^3+8b^2+c_1b+(c_2-a^2)=0.$$

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El polinomio resultante es, sin duda irreductible. El polinomio mínimo no puede ser una ecuación cuadrática como $[\Bbb{Q}(T):\Bbb{Q}(a)]=3$ y no puede contener una ecuación cuadrática intermedio de campo. El polinomio mínimo no puede ser lineal para, a continuación,$b\in\Bbb{Q}(a)$. Como $\Bbb{Q}(a,b)=\Bbb{Q(T)}$ esto implicaría que $T\in \Bbb{Q}(a)$ violar la trascendencia de $T$$\Bbb{Q}$.