¿Qué sentido tienen los conjuntos contables frente a los incontables?

Question

Entiendo cómo utilizar estos conceptos y cómo demostrar que ciertos conjuntos son contables o incontables. Sin embargo, no entiendo el sentido de esto. ¿Qué diferencia hay en que un conjunto sea contable? La gente dice que la prueba de Cantor de que los números reales son incontables es un hito de las matemáticas. Después de leer la prueba, todavía me cuesta entender qué importancia tienen estas ideas.

Answer 1

Una aplicación importante es ésta: Consideremos el conjunto de funciones que toman un argumento entero y devuelven un resultado entero. No es difícil demostrar que este conjunto es incontable. Ahora consideremos el conjunto de programas de ordenador. Este conjunto es contable. Por lo tanto, hay funciones no computables; de hecho, la mayoría de las funciones no se pueden calcular.

Este es un tipo de argumento bastante común en algunos contextos.

Answer 2

Una aplicación muy importante (en mi opinión) de la contabilidad:

A menudo se asocia a un sistema físico alguna función $f:\mathbb R^n\to \mathbb R^m$ . Puede ser la aceleración experimentada por un planeta, el voltaje en un circuito, lo que sea. Queremos estudiar el comportamiento de estas funciones, y encontramos que en algunos puntos el comportamiento es bueno, pero en otros el comportamiento es muy malo. En concreto, tenemos un buen modelo matemático para los puntos buenos, que nos permite realizar cálculos fácilmente, pero este modelo se rompe en los malos. Para aplicar este modelo, necesitamos que un punto "genérico" sea un punto bueno, en el sentido de que si se elige un punto al azar será bueno con probabilidad $1$ . Una forma común de demostrar esto es mostrar que sólo hay un número contable de puntos malos. Formalmente, esto utiliza el hecho de que la medida de Lebesgue de cualquier conjunto contable es $0$ .

Editar: Un ejemplo concreto de esto surge en mi propia área de interés, el billar. Consideremos una bola de billar que rebota dentro de un polígono. La bola se comporta de manera muy predecible cuando choca con un borde (el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión), pero su comportamiento está mal definido cuando choca con una esquina. Por suerte, partiendo de cualquier punto fijo, sólo hay un número contable de direcciones diferentes en las que la pelota podría viajar y acabar chocando con una esquina, por lo que, en su mayor parte, esta posibilidad puede ignorarse.

Answer 3

Una de las aplicaciones es la teoría de la probabilidad y la medida.

Si has conocido las sumas infinitas, sabrás que a menudo queremos que la probabilidad sea contablemente aditiva. ¿Qué significa esto? Si $\{A_n\mid n\in\Bbb N\}$ es una colección contable de eventos independientes entre sí, entonces $P(\bigcup A_n)=\sum P(A_n)$ . Es decir, la probabilidad de que uno de ellos ocurra es la suma de probabilidades.

La razón por la que esto es útil es que, a pesar de que en las "situaciones del mundo real" sólo hay un número finito de eventos de los que podemos hablar y medir, a veces no sabemos cuántos exactamente y trabajar con un número infinito lo hace más fácil. Por lo tanto, la aditividad contable es una propiedad útil e importante.

Pero aquí hay una trampa. Si $X$ es contable entonces no hay ninguna probabilidad aditiva contable tal que $P(X)=1$ y $P(\{x\})=0$ por cada $x\in X$ . Esto se debe a que si $X$ es contable podemos escribirlo como $X=\{x_n\mid n\in\Bbb N\}$ y entonces tenemos $$1=P(X)=P\left(\bigcup_{n\in\Bbb N}\{x_n\}\right)=\sum_{n\in\Bbb N} P(\{x_n\})=\sum_{n\in\Bbb N} 0=0.$$

¿Qué tiene que ver todo esto con su pregunta? Pues muy fácil. A menudo hablamos de una probabilidad "uniforme" sobre $[0,1]$ donde cada singleton tiene probabilidad cero. Si $[0,1]$ es contable, no podemos hacerlo.

Answer 4

Un hecho interesante que resulta en la topología es que la eliminación de un conjunto contable de puntos del plano no puede desconectar el plano. Esto se debe a que hay un número incontable de pendientes para elegir y un número contable de "obstáculos".

Si el plano estuviera desconectado, entonces tendríamos un mapa inyectivo del conjunto de pendientes, $\mathbb{R}$ al conjunto de los números naturales, $\mathbb{N}$ ; absurdo.

Answer 5

Una aplicación de las diferentes cardinalidades: una forma rápida de saber que dos conjuntos son distintos.

Otra: construir el universo construible.