$\operatorname{Hom}(-,A) \cong \operatorname{Hom}(-,A') \Rightarrow A \cong A'$, verificación de la prueba

Question

Esto es de pg93, ex 4.1.27.

Deje $\mathcal{A}$ ser un local pequeño de la categoría, y deje $A,A' \in \mathcal{A}$$\operatorname{Hom}(-,A) \cong \operatorname{Hom}(-,A')$. Demostrar directamente que $A \cong A'$.

Mis pensamientos:

Deje $\eta$ denotar la natural isomoprhism entre los dos functors. Tenemos $$H(A,A) \xrightarrow{ \eta_A} H(A,A')$$ Por lo $\eta_A(id_A): A \rightarrow A'$ es un candidato. Ahora quiero construir inversa. $$ H(A',A') \xrightarrow{\eta_{A'}} H(A',A)$$ A continuación, el mapa de $\eta^{-1}_{A'} (id_{A'}):A' \rightarrow A$. Así que me gustaría mostrar que la composición es la identidad. Por la connaturalidad de la condición de $\eta$, $H_A(A) \rightarrow H_{A'}(A')$ (y de manera similar en otra dirección) $$ \eta_A(id_A) \circ \eta^{-1}_{A'}(id_{A'}) = \eta_{A'}(\eta_{A'}^{-1}(id_{A'}))= id_{A'} $$ Podemos deducir de estos dos mapas son inversos. Por lo tanto $A' \cong A$.

Es esto correcto? O es que hay una hermosa manera de ver esto?

Answer 1

Prueba de es correcta y no creo que hay muchas alternativas.

Answer 2

Según el lema de Yoneda una flecha $f:A\to A'$ existe tal que para cada objeto %#% se prescribe #% el mapa $B$ $\eta_B:\mathsf{Hom}(B,A)\to\mathsf{Hom}(B,A')$.

Asimismo una flecha $h\mapsto f\circ h$ existe tal que para cada objeto %#% se prescribe #% el mapa $g:A\to A'$ $B$.

$\eta_B^{-1}:\mathsf{Hom}(B,A')\to\mathsf{Hom}(B,A')$ Y $h\mapsto g\circ h$ demostrando que $f\circ g=\eta_A\circ\eta_A^{-1}(1_A)=1A$ y $g\circ f=\eta{A'}^{-1}\circ\eta{A'}(1{A'})=1_{A'}$ son isomorfos.