Si$a+b+c = 7\;\;,a^2+b^2+c^2 = 23$, entonces$a^3+b^3+c^3=$

Question

Si$a,b,c\in \mathbb{R}$ y$a+b+c = 7\;\;,a^2+b^2+c^2 = 23$ y$\displaystyle \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1} = 31$. Entonces $a^3+b^3+c^3 = $

$\bf{My\; Trial\; Solution::}$ Given$a^2+b^2+c^2 = 23$ y

$a+b+c = 7\Rightarrow (a+b+c)^2 = 49\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca) = 49$

Asi que $23+2(ab+bc+ca) = 49\Rightarrow (ab+bc+ca) = 13$

Ahora desde$\displaystyle \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1} = 31\Rightarrow \frac{(a+1)\cdot (b+1)+(b+1)\cdot (c+1)+(c+a)\cdot (a+1)}{(a+1)(b+1)(c+1)} = 31$

Asi que $\displaystyle \frac{(ab+bc+ca)+2(a+b+c)+3}{1+(a+b+c)+(ab+bc+ca)+abc} = 31\Rightarrow \frac{13+2\cdot 7+3}{1+7+13+abc} = 31$

Asi que $\displaystyle \frac{30}{21+abc} = 31\Rightarrow 21\times 31+31(abc) = 30\Rightarrow (abc) = \frac{30-21\times 31}{31}=-\frac{621}{31}$

Ahora cómo puedo calcular$a^3+b^3+c^3$

¿Hay algún método mejor por el cual podamos calcular$abc$

Ayuadame

Gracias

Answer 1

Tenga en cuenta que$a,b,c$ son las raíces de la ecuación$$x^3-(a+b+c)x^2+(bc+ac+ab)x-abc=0$$ which we know to be $$x^3-7x^2+13x-\frac {621}{31}=0 \dots (A)$ $

Agregue las tres ecuaciones para$a, b, c$ para obtener

ps

Tenga en cuenta que si definimos$$(a^3+b^3+c^3)-7(a^2+b^2+c^2)+13(a+b+c)-\frac {3\cdot 621}{31}=0$ podemos multiplicar la ecuación$P_n=a^n+b^n+c^n$% por$A$ antes de sustituir$x^n$ y obtenemos$a,b,c$ $, que es una relación de recurrencia para las sumas de poderes superiores También funciona con poderes negativos, siempre que las raíces no sean cero.

Answer 2

Dejar $p(x) = (x-a)(x-b)(x-c)$. Entonces la siguiente identidad tiene:

ps

Como sabemos que$$ a^{3} + b^{3} + c^{3} = (a+b+c)^{3} - 3p(a+b+c). $, ahora tenemos la respuesta.

Answer 3

Usted conoce su suma, su suma de productos tomados por dos y su producto. Usa las identidades de Vieta y la fórmula cúbica . (Otro enfoque sería mediante el empleo de las identidades de Newton ).

Answer 4

INSINUACIÓN:

Donde te queda,

podemos derivar $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)[a^2+b^2+c^2-(ab+b+ca)]$ $

Ahora, $(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=2(ab+bc+ca)$