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Sia+b+c=7,a2+b2+c2=23, entoncesa3+b3+c3=

Sia,b,cR ya+b+c=7,a2+b2+c2=23 y1a+1+1b+1+1c+1=31. Entonces a3+b3+c3=

MyTrialSolution:: Givena2+b2+c2=23 y

a+b+c=7(a+b+c)2=49(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)=49

Asi que 23+2(ab+bc+ca)=49(ab+bc+ca)=13

Ahora desde1a+1+1b+1+1c+1=31(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+a)(a+1)(a+1)(b+1)(c+1)=31

Asi que (ab+bc+ca)+2(a+b+c)+31+(a+b+c)+(ab+bc+ca)+abc=3113+27+31+7+13+abc=31

Asi que 3021+abc=3121×31+31(abc)=30(abc)=3021×3131=62131

Ahora cómo puedo calculara3+b3+c3

¿Hay algún método mejor por el cual podamos calcularabc

Ayuadame

Gracias

6voto

runeh Puntos 1304

Tenga en cuenta quea,b,c son las raíces de la ecuaciónx3(a+b+c)x2+(bc+ac+ab)xabc=0 which we know to be $$x^3-7x^2+13x-\frac {621}{31}=0 \dots (A)

Agregue las tres ecuaciones paraa,b,c para obtener

ps

Tenga en cuenta que si definimos$$(a^3+b^3+c^3)-7(a^2+b^2+c^2)+13(a+b+c)-\frac {3\cdot 621}{31}=0 podemos multiplicar la ecuaciónP_n=a^n+b^n+c^n% porA antes de sustituirx^n y obtenemosa,b,c , que es una relación de recurrencia para las sumas de poderes superiores También funciona con poderes negativos, siempre que las raíces no sean cero.

4voto

psychotik Puntos 171

Dejar p(x) = (x-a)(x-b)(x-c). Entonces la siguiente identidad tiene:

ps

Como sabemos que$$ a^{3} + b^{3} + c^{3} = (a+b+c)^{3} - 3p(a+b+c). $, ahora tenemos la respuesta.

2voto

Derick Bailey Puntos 37859

Usted conoce su suma, su suma de productos tomados por dos y su producto. Usa las identidades de Vieta y la fórmula cúbica . (Otro enfoque sería mediante el empleo de las identidades de Newton ).

2voto

Farkhod Gaziev Puntos 6

INSINUACIÓN:

Donde te queda,

podemos derivar $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)[a^2+b^2+c^2-(ab+b+ca)]

Ahora, (a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=2(ab+bc+ca)

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