Ejemplo de un anillo local completo no noetheriano

Question

Estaba buscando un ejemplo de un anillo conmutativo local completa no noetheriano con $1$. Le agradeceria si alguien puede señalar a una referencia.

Answer 1

Creo que debe mirar el anillo $k[[X_1,X_2,...]]$ de serie de energía con una infinidad de variables. Este anillo es completa (como la realización del $k[X_1,X_2,...]$ del anillo de polinomios con una infinidad de variables) y su único ideal maximal es el que consiste en series de potencias sin término constante. Claramente no es noetheriano, teniendo en cuenta la cadena de los ideales generados por $X_1$, ${X_1,X_2}$, ${X_1,X_2,X_3}$, etcetera.

Answer 2

Tomar una clausura algebraica de $\mathbb{Q}_p$, el campo de la $p$-ádico números y completa para obtener un completo campo de $\mathbb{C}_p$. Resulta que $\mathbb{C}_p$ todavía es algebraicamente cerrado. La valoración anillo de $R$ $\mathbb{C}_p$ es una completa anillo local cuyo máximo ideal $\mathfrak{m}$ satisface $\mathfrak{m}^2=\mathfrak{m}$. Se sigue de Nakyama del lexema y el hecho de que $\mathfrak{m}\neq 0$ que $R$ no es Noetherian.

EDIT: yo estaba pensando en este ejemplo recientemente y se dio cuenta de que no es un ejemplo del tipo solicitado por el OP, porque la valoración anillo de $R$, mientras que se completa con respecto a su valoración de la topología, no es $\mathfrak{m}$-adically completa debido a la relación $\mathfrak{m}^2=\mathfrak{m}\neq 0$, lo que implica $\mathfrak{m}^n=\mathfrak{m}$ todos los $n\geq 1$. Esta relación muestra que $R$ no $\mathfrak{m}$-adically separado, que es parte de la definición de $\mathfrak{m}$-adically completa. Su $\mathfrak{m}$-ádico de finalización es el residuo de campo $R/\mathfrak{m}$, que es una clausura algebraica de $\mathbf{F}_p$.