Evaluar

Question

¿Es la siguiente evaluación de correcto?

\begin{align} \int e^x \sin^2 x \mathrm{d}x &= e^x \sin^2 x -2\int e^x \sin x \cos x \mathrm{d}x \ &= e^x \sin^2 x -2e^x \sin x \cos x + 2 \int e^x (\cos^2 x - \sin^2x) \mathrm{d}x \ &= e^x \sin^2 x -2e^x \sin x \cos x + 2 \int e^x (1 - 2\sin^2x) \mathrm{d}x \ &= e^x \sin^2 x -2e^x \sin x \cos x + 2 \int -2 e^x \sin^2x \mathrm{d}x + 2 e^x \ &= e^x \sin^2 x -2e^x \sin x \cos x + 2 e^x -4 \int e^x \sin^2x \mathrm{d}x \end{align}

Primero dos pasos usan integración por partes. En el primer paso diferenciamos $\sin^2 x$. En el segundo paso diferenciamos $\sin x \cos x$. Con esto, llegamos a $$5\int e^x \sin^2 x \mathrm{d}x = e^x \sin^2 x -2e^x \sin x \cos x + 2 e^x$ $

$$\int e^x \sin^2 x \mathrm{d}x = \frac{e^x \sin^2 x -2e^x \sin x \cos x + 2 e^x}{5}+C$$

No puedo llegar a la forma que dan de calculadoras más integral, que tiene condiciones de $\cos(2x)$ y $\sin(2x)$ solo usando trigonométricas identidades, por lo que me pregunto si el resultado es correcto. También estaría interesado en un método que inmediatamente da el % de forma $$-\frac{e^x[2 \sin(2x)+ \cos(2x)-5]}{10}+C$$

Answer 1

Aviso

$$\int e^x\sin^2x\mathrm{d}x=$$ $$=\int e^x\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)\mathrm{d}x$$ $$=\frac{1}{2}\int e^xdx-\frac{1}{2}\int e^x \cos 2x \mathrm{d}x$$

Usando el $\displaystyle \int e^{ax}\cos (bx) \mathrm{d}x=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b\sin bx)$, obtenemos

$$=\frac{1}{2}e^x-\frac{1}{2}\frac{e^x}{1^2+2^2}(\cos 2x+2\sin 2x)+C$$ $$=\frac{1}{2}e^x-\frac{1}{10}e^x(\cos 2x+2\sin 2x)+C$$ $$=-\frac{e^x(2\sin 2x+\cos 2x-5)}{10}+C$$

Answer 2

Que %#% $ #%

Ahora usando $$\displaystyle I = \frac{1}{2}\int e^x 2\sin^2 xdx = \frac{1}{2}\int e^x-\frac{1}{2}\int e^x \cos 2x dx$$$\displaystyle \cos \phi +i\sin \phi = e^{i\phi}$% $ $ and $

Así $\cos \phi-i\sin \phi = e^{-i\phi}.$ $

Así conseguimos %#% $ #%

Así conseguimos %#% $ #%

Así conseguimos %#% $ #%

$$\displaystyle \cos \phi = \frac{e^{i\phi}+e^{-i\phi}}{2}$$

Así $$\displaystyle \cos 2x = \left(\frac{e^{i2x}+e^{-i2x}}{2}\right)$ $

Así $$\displaystyle J = \bf{Re}\left[\int e^{x}\cdot \left(\frac{e^{i2x}+e^{-i2x}}{2}\right)dx\right] = \frac{1}{2}\bf{Re}\int \left[e^{(1+2i)x}+e^{(1-2i)x}]\right]dx$ $

Answer 3

Tenemos $$ \int e ^ {x} \sin^ {2} \left (x\right) dx = \frac {1} {2} \int e ^ {dx-\frac {1} {2} \int e x} ^ {x} \cos\left (2x\right) dx $$ and $$\int e ^ {x} \cos\left (2x\right) dx = \textrm {Re} \left(\int e^{x+2ix}dx\right) $$ then $$\int e ^ {x +2ix} dx = \frac {e ^ {x +2ix}} {} $$ and so $$\int e^{x}\sin^{2}\left(x\right)dx=\frac{1}{2}e^{x}-\frac{1}{2}e^{x}\left(\frac{\cos\left(2x\right)+2\sin\left(2x\right)}{5}\right)+C=$$ $$=-\frac{e^{x}\left(\cos\left(+2x\right)2\sin\left(+2x\right)-5\right) 1 2i}} {10} + C. $$

Answer 4

Puede utilizar la fórmula de reducción:

$$ In = \int e ^ {ax} \sin^n bx\mathrm. dx\ = \frac{e^{ax}\sin^{n-1} biopsia (bx bx-nb\cos de a\sin)} {a ^ 2 + n ^ 2b ^ 2} + \frac {b n (n-1) ^ 2} {a ^ 2 + n ^ 2b ^ 2} I {n-2} $$

% De uso $n=2,a=1,b=1$.

Answer 5

Su solución es correcta. Para llegar a la forma requerida, Vea aquí,Usted ya tiene este

$$\int e^x \sin^2 x \mathrm{d}x = \frac{e^x \sin^2 x -2e^x \sin x \cos x + 2 e^x}{5}+C$$

Ahora, multiplique y divida el resultado por $2$, obtendrá $$\frac{2e^x \sin^2 x -4e^x \sin x \cos x +4e^x}{10}+C\\ =\frac{2e^x \sin^2 x -4e^x \sin x \cos x +4e^x+e^x-e^x}{10}+C\\ =\frac{2e^x \sin^2 x-e^x -4e^x \sin x \cos x +5e^x}{10}+C\\ =\frac{e^x(2 \sin^2 x-1) -4e^x \sin x \cos x +5e^x}{10}+C\\ =-\frac{e^x[2 \sin(2x)+ \cos(2x)-5]}{10}+C$$

Donde hemos utilizado las identidades

1) $2 \sin^2 x-1=-\cos 2x$

2)$2\sin x\cos x= \sin 2x $