Hay un real entre dos racionales cualesquiera, un racional entre dos reales cualesquiera, pero ¿más reales que racionales?

Question

Las siguientes afirmaciones son todas verdaderas:

• Entre dos números racionales cualesquiera, hay un número real (por ejemplo, su media).
• Entre dos números reales cualesquiera, hay un número racional (véase esta prueba de ese hecho por ejemplo).
• Hay estrictamente más números reales que racionales.

Aunque acepto cada una de ellas como verdad, la tercera afirmación me parece preocupante a la luz de las dos primeras. Parece que debería haber alguna forma de encontrar una biyección entre reales y racionales dadas las dos primeras propiedades.

Entiendo que entre cada par de racionales hay infinitos reales (de hecho, creo que hay $2^{\aleph_0}$ de ellos), pero dado que esto es cierto parece que también debería haber a su vez un gran número de racionales entre todos esos reales.

¿Existe una buena justificación conceptual o matemática de por qué la tercera afirmación es tue dado que las dos primeras también lo son?

Gracias. Esto me ha estado molestando durante bastante tiempo.

Answer 1

Tal vez esto ayude: si dos racionales coinciden con (digamos) 73 decimales, entonces puedes encontrar reales entre ellos haciendo que tus reales tengan los mismos 73 primeros decimales, luego ten cuidado con el lugar 74, pero luego haz lo que quieras con todos los lugares después de eso (esto no es exactamente correcto, si los lugares 74 difieren en 1, pero eso es bastante fácil de arreglar).

Ahora bien, si se tienen dos reales que coinciden en 73 lugares, se pueden encontrar racionales entre ellos haciendo que sus racionales tengan los mismos 73 primeros decimales, luego hay que tener cuidado con el 74º, pero luego hay que asegurarse de que el resto sea eventualmente periódico (o termine). Esa restricción en los racionales, que no existía para los reales, puede ayudarte a ver por qué hay más reales (incluso entre dos racionales que coinciden en 73 lugares) que racionales.

Answer 2

He aquí un intento de justificación moral de este hecho. Una manera (informal) de entender la diferencia entre un número racional y un número real es que un número racional codifica de alguna manera una cantidad finita de información, mientras que un número real arbitrario puede codificar una cantidad (contablemente) infinita de información. El hecho de que los números algebraicos (raíces de ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros) sean contables sugiere que esta perspectiva no es descabellada.

Naturalmente, cuando los objetos son libres de codificar una cantidad infinita de información, se puede esperar una mayor variedad, y eso es en última instancia lo que provoca la cardinalidad de $\mathbb{R}$ para superar la de $\mathbb{N}$ como en el argumento diagonal de Cantor. Sin embargo, dado que los números reales codifican una cantidad contable de información, dos números reales distintos cualesquiera discrepan después de algún punto finito, y por eso podemos introducir un racional en el medio.

En definitiva, se ve que esto se reduce a la forma en que construimos $\mathbb{R}$ : como el conjunto de puntos límite de las secuencias racionales de Cauchy. Esto se debe a que un proceso límite se construye a partir de pasos "finitos", y así podemos aproximar la inmensa complejidad de un conjunto incontable con una colección contable de objetos finitos.