Yo era capaz de llegar con una prueba de este problema, sin embargo, parece que mi argumento puede trabajar para cualquier campo, incluso de orden y no sólo impar potencias de 2, así que estoy convencido de que hay algo mal aquí. Alguien puede comprobar o ver dónde está el error en el razonamiento?
Problema: Vamos a $F$ ser un campo con $2^n$ elementos, con $n$ impar. Mostrar que para $a,b \in F$ que $a^2+ab+b^2=0$ implica que el$a=0$$b=0$.
Prueba: Supongamos $a,b \in F$$a^2+ab+b^2=0$.
$\implies a^2+2ab+b^2 = ab$
$\implies \frac{2^n}{2}(a^2+2ab+b^2) = \frac{2^n}{2}ab$
$\implies \frac{2^n}{2}a^2+ 2^nab+\frac{2^n}{2}b^2 = \frac{2^n}{2}ab$
$\implies \frac{2^n}{2}a^2+\frac{2^n}{2}b^2 = \frac{2^n}{2}ab$ (ya que F es un grupo en adición, entonces cada elemento de la $|F|$ múltiples es la identidad de lo $2^n(ab) = 0$)
$\implies \frac{2^n}{2}(a^2+b^2) = \frac{2^n}{n}ab$
$\implies a^2+b^2 = ab$
$\implies a^2-ab+b^2 = 0 = a^2+ab+b^2$
$\implies -ab = ab \implies 2ab=0 \implies ab=0$.
Por lo tanto, $a=0$ o $b=0$. Sin embargo, si sólo uno de ellos es cero, entonces también lo es el otro ($a=0 \implies a^2+ab+b^2 = 0 \implies b^2 = 0 \implies b=0$). Por lo tanto, $a=0$$b=0$.
QED
De todos modos, si hay algo mal con esta prueba, podría alguien darme un toque sutil tal vez? He estado atrapado en esta aparentemente simple problema por un tiempo ahora.
