Campo de orden 8, $a^2+ab+b^2=0$ implica que $a=0$ y $b=0$.

Question

Pude encontrar una prueba para este problema, sin embargo, parece que mi argumento puede funcionar para cualquier campo de orden par y no solo potencias impares de 2, así que estoy convencido de que algo está mal aquí. ¿Alguien puede verificar o ver dónde está el error en el razonamiento?

Problema: Sea $F$ un campo con $2^n$ elementos, con $n$ impar. Muestra que para $a, b \in F$, $a^2 + ab + b^2 = 0$ implica que $a = 0$ y $b = 0.

Prueba: Supongamos que $a, b \in F$ y $a^2 + ab + b^2 = 0$.

$\implies a^2 + 2ab + b^2 = ab$

$\implies \frac{2^n}{2}(a^2 + 2ab + b^2) = \frac{2^n}{2}ab$

$\implies \frac{2^n}{2}a^2 + 2^nab + \frac{2^n}{2}b^2 = \frac{2^n}{2}ab$

$\implies \frac{2^n}{2}a^2 + \frac{2^n}{2}b^2 = \frac{2^n}{2}ab$ (ya que F es un grupo bajo la adición, entonces cada elemento al múltiplo de $|F|$ es la identidad, por lo tanto $2^n(ab) = 0$)

$\implies \frac{2^n}{2}(a^2 + b^2) = \frac{2^n}{n}ab$

$\implies a^2 + b^2 = ab$

$\implies a^2 - ab + b^2 = 0 = a^2 + ab + b^2$

$\implies -ab = ab \implies 2ab = 0 \implies ab = 0$

Por lo tanto, $a = 0$ o $b = 0$. Sin embargo, si solo uno de ellos es cero, entonces el otro también lo es ($a = 0 \implies a^2 + ab + b^2 = 0 \implies b^2 = 0 \implies b = 0$). Por lo tanto, $a = 0$ y $b = 0$.

QED

De todos modos, si hay algo mal con esta prueba, ¿podría alguien darme una pista sutil tal vez? He estado atascado en este problema aparentemente simple por un tiempo.

Answer 1

El error que cometes es:

$$\frac{2^n}{2}(a^2+b^2) = \frac{2^n}{2}ab \Rightarrow a^2+b^2 =ab $$

¡Ten en cuenta que tu campo tiene característica $2$, lo que significa que $\frac{2^n}{2}=0$! ¡Estás dividiendo nuevamente por $0$ en la última línea!

Pista $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)=0$$

Así que $a^3=b^3$, y también sabes qué valores tienen $a^7$ y $b^7$....

Pediste una pista sutil, no incluí más detalles, avísame si es útil o si quieres más detalles.

Answer 2

Pista $\ $ No se puede dividir por $\,2\,$ ya que $\,2 = 0\,$ en $\,\Bbb F_{2^n}.\,$ En su lugar, nota que $\, 0 = (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3.\,$ Si $\,a\,$ o $\,b\neq 0,\,$ supongamos sin pérdida de generalidad que $\,b\ne 0,\,$ entonces $\,c^3 = 1\,$ para $\,c = a/b.\,$ Si $\,c \ne 1\,$ entonces $\,c\,$ tiene orden $= 3,\,$ entonces el Teorema de Lagrange $\Rightarrow 3\,$ divide a $\,|\Bbb F_{2^n}^{*}| = 2^n-1,\,$ lo cual va en contra de $\,{\rm mod}\ 3\!:\ 2^n\! =(-1)^{2k+1}\!\equiv -1.\,$ Entonces $\,c = 1,\,$ entonces $\,a\!=\!b,\,$ entonces $\,a^2\!+\!ab\!+\!b^2\!=3b^2 = 0,\,$ entonces $\,b = 0.$