Estoy calculando un grupo de clases para un campo cuadrático imaginario y algo parece estar mal.
Dejemos que $\delta=\sqrt{-29}$ y que $R$ sea el anillo de enteros en $\mathbb Q[\delta]$ . Desde $(1-\delta)(1+\delta)=30=2\cdot 3\cdot 5$ concluimos que 2, 3 y 5 se dividen (como ideales) en $R$ . Sea $P_2$ sea un ideal de $R$ tal que $\overline{P_2}P_2=(2)$ y definir $P_3$ y $P_5$ análogamente. Como 29 es suficientemente pequeño, sabemos que el grupo de clase de $R$ es generado por $P_2,P_3,P_5$ . También denotaremos por $\langle P\rangle$ la clase ideal correspondiente a un ideal $P$ .
A partir de los 2 cálculos siguientes: $$(1-\delta)(1+\delta)=2\cdot 3\cdot 5\implies \langle P_2\rangle\langle P_3\rangle\langle P_5\rangle=1$$ $$(4-\delta)(4+\delta)=3^2\cdot 5\implies \langle P_3\rangle^2\langle P_5\rangle=1$$
tenemos que $1=(\langle P_2\rangle\langle P_3\rangle\langle P_5\rangle)(\langle P_3\rangle^2\langle P_5\rangle)^{-1}=\langle P_2\rangle\langle P_3\rangle^{-1}\implies \langle P_2\rangle=\langle P_3\rangle$ . Como $\langle P_2\rangle$ tiene orden 2 (2 ramifica en $R$ ), $\langle P_3\rangle$ también tiene orden 2, por lo que esto significa que $\langle P_5\rangle=1$ En otras palabras, $P_5$ es un ideal principal, es decir, 5 tiene un divisor propio en $R$ . Pero es fácil ver que 5 no tiene un divisor propio, por lo que parece haber una contradicción. Lo más probable es que haya pasado por alto algo importante, pero no lo encuentro. ¿Qué es lo que me falta?
