Aplicaciones típicas del teorema de Fubini y de Radon-Nikodym

Question

¿Puede alguien compartir referencias (sitios web o libros) donde pueda encontrar problemas relacionados con el teorema de Fubini y aplicaciones del teorema de Radon-Nikodym? He buscado en Google sí y no encuentro muchos problemas. ¿Cuáles son los problemas "típicos" (si los hay) relacionados con estos temas? [Sí, el examen es pronto así que no sé qué esperar y no tengo acceso a los parciales de años anteriores].

Gracias

Answer 1

Un ejemplo básico de lo que se puede hacer con el teorema de Fubini es representar una integral de una función de una función en términos de su función de distribución. Por ejemplo, existe la fórmula (para una función razonable $\phi$ , $f$ básicamente arbitrario pero no negativo) $$\int \phi \circ f d\mu = \int_t \mu(\{ f> t\}) \phi'(t) dt$$ que reduce las preguntas sobre las integrales de, por ejemplo, $p$ a las preguntas sobre la función de distribución. Así, por ejemplo, la acotación de la Operador maximalista de Hardy-Littlewood en $L^p$ ( $p>1$ ) se demuestra: se obtiene una cota de la función de distribución de la función máxima por métodos generales y luego se hace un proceso de interpolación.

Para demostrar la fórmula anterior, como en Rudin, se puede considerar la colección $E$ de pares $(x,t)$ tal que $0 \leq t \leq f(x)$ . Se trata de un subconjunto medible de $X \times \mathbb{R}$ si $X$ es el espacio de medida inicial en el que $f$ se define y $\mathbb{R}$ tiene medida de Lebesgue. Entonces, se puede escribir la segunda integral en la ecuación mostrada como $\int_t \phi'(t) dt \int_{x \in X} \chi_E(x,t) d \mu$ donde $\chi_E$ denota la función característica.

Ahora, reordenando esta integral mediante el teorema de Fubini, se puede integrar con respecto a $t$ primero, para cada $x$ Entonces $t$ va de $0$ a $f(x)$ y se puede ver que esta integral se convierte en $\int_x \int_{t=0}^{f(x)} \phi'(t) dt$ que es el lado derecho de la ecuación mostrada.

Answer 2

El Radon-Nikodym se utiliza para demostrar la existencia del expectativa condicional en la teoría de la probabilidad.

El teorema de Fubini es, entre otras cosas, un dispositivo muy útil para calcular integrales sobre espacios producto.

Answer 3

No soy un experto, pero mi opinión limitada es la siguiente. Dije que durante treinta años no veía ningún interés en teoremas como el de radon nikodym, habiéndolos aprendido de forma muy abstracta. entonces, una vez, mientras enseñaba cálculo con honores, me pregunté qué debía decir el teorema fundamental del cálculo para las integrales de funciones sólo integrables de Riemann, no necesariamente continuas.

Después de exponer originalmente la respuesta errónea en mi clase, aprendí (con ayuda de un amigo analista que me enseñó una función de Cantor) que la integral indefinida se caracteriza por ser una función que tiene una derivada igual al integrando original en casi todas partes (siempre que ese integrando sea continuo) y por ser también no sólo continua sino continua de Lipschitz.

Entonces me di cuenta por fin de que el teorema de radon nikodym no es más que el teorema fundamental del cálculo para funciones más generales. Puede que no nos demos cuenta de la analogía de calc 1, porque al considerar sólo integrales continuas allí nos perdemos la parte singular. Es decir, nos olvidamos de preguntarnos por qué estamos considerando sólo integrales de derivadas de funciones C^1 (en particular Lipschitz). Así que cualquier aplicación de tipo FTC es una aplicación de RN, por ejemplo, permite caracterizar funciones constantes (¿a.e?) por propiedades de continuidad y diferenciabilidad débiles.

Del mismo modo, Fubini es, por supuesto, una integración repetida, por lo que reduce cualquier cálculo integral de forma inductiva a uno de menor dimensión (volúmenes por corte). Por ejemplo, para mostrar que un conjunto tiene medida cero (como en el teorema de Sard) se puede hacer inductivamente mostrando que la mayoría de las rebanadas tienen medida de dimensión inferior cero. (Véase Guillemin y Pollack, apéndice, o el libro de topología diferencial de Milnor).

Uno de mis profesores sugirió una vez que prácticamente todos los problemas de análisis son atacados por la convergencia dominada o por Fubini. Así que si ves un problema de examen en el que la convergencia dominada no sirve, prueba con Fubini.

Esta respuesta da por sentado que conservas el interés por el tema incluso después del examen, a no ser que estés en Harvard, donde los exámenes quizá sigan siendo en enero.

Siguiendo con el comentario de KCd, también podrías echar un vistazo a los antiguos exámenes de calificación disponibles en los sitios web de escuelas como Harvard y UGA. La de Harvard también tiene algunas listas de preguntas típicas de esta naturaleza: por ejemplo, si toda intersección de un determinado subconjunto S del plano, con una línea de pendiente 1 es contable, ¿qué puedes decir sobre la medida de Lebesgue de S? Dios, Harvard tiene incluso, con capacidad de acceso, copias en línea de todos los exámenes desde 1977, y copias en papel en las bibliotecas de los exámenes desde 1836.

O consideremos una función continua débilmente monótona creciente f en el intervalo [0,1]. Se sabe que f es diferenciable a.e. digamos con derivada g 0. Si g es integrable y G(x) es la integral de g de 0 a x, entonces ¿en qué medida determina G a f o a g, si es que determina a alguno? ¿Cuándo determina G tanto a f como a g? Si es posible, dé un ejemplo en el que G no determine f ni g.