¿Espacios del vector: Axioma redundante?

Question

Pregunta

¿Por qué son los axiomas de espacio vectorial independiente?

Más precisamente, $1x=x$ parece redundante...

(Me tomo de los axiomas de: Wikipedia)

Explicación

Uno tiene por vector cero: $$\lambda0+\lambda0=\lambda(0+0)=\lambda0\implies\lambda0=0$$

Y para escalar cero: $$0x+0x=(0+0)x=0x\implies0x=0$$

En la forma familiar: $$\lambda x=0\implies\lambda=0\lor x=0$$

Threrefore se calcula: $$1(1x+x^{-1})=1(1x)+1(x^{-1})=(11)x+1(x^{-1})=1x+1(x^{-1})=1(x+x^{-1})=10=0$$

Por lo tanto para no trivial de campo: $$1\neq0\implies1x+x^{-1}=0\implies1x=x$$

Pero en dónde está la falla en el cheque??

Answer 1

El sistema del axioma que cito no tiene $$\lambda x=0\implies \lambda=0 \lor x=0 $ $ como un axioma.

Si se nos cae el axioma $1v=v$, el siguiente se convierte en un ejemplo de un "espacio del vector" $\mathbb R$:

• $V=(\mathbb R,+)$, $F=(\mathbb R,+,\cdot)$
• $\lambda \in F$ y $v\in V$ dejaron $\lambda v=0$.

No queremos que esto suceda.

Answer 2

Un error: Usted sólo mostró que $\lambda=0$ o $x=0$ $\implies$ $\lambda x=0$. No mostrar el reverso implicación: $\lambda x=0 \implies \lambda=0$ o $x=0$. Una prueba de que la implicación utiliza el axioma $1x=x$.

Un estándar contraejemplo de una estructura que satisface todos los otros axiomas ahorrar $1x=x$ es la siguiente:

• $V=\Bbb{F}^2$
• $(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,x_2+y_2)$, es decir, los habituales de las componentes del vector suma
• $a*(x_1,x_2)=(ax_1,0)$.

El sistema de $(V,+,*)$ satisface todos los otros axiomas, sino $1x=x$. Tenga en cuenta que que la implicación no se sostiene en este sistema: $$1*(0,1)=(0,0)=0_V.$$

Answer 3

Para probar $$ \lambda x = 0\implies \lambda=0\vee x = 0\tag1 $$ es necesario utilizar el axioma $1x=x$.

Aquí es cómo usted (1): $\lambda\neq0$, entonces el $\lambda x=0$ implica $$ \lambda^{-1}(\lambda x)=\lambda^{-1}(0) $$

$$ ($$ $$ de \lambda^{-1}\lambda)x= 0 1 x = 0 $$ $$x=0$ $, por lo que implica de $\lambda\neq0$ $x=0$, o equivalente, $\lambda=0\vee x=0$.

Así, la prueba del axioma $1x=x$ ser redundante va en círculos.

Answer 4

Los axiomas de la lista que mencionas no son independientes, sino $1x=x$ no es el problema.

Conmutatividad de la adición de la siguiente manera a partir de los otros axiomas; deje $x,y\in V$ y el conjunto de $$ z=(1+1)(x+y) $$ Entonces $$ z=1(x+y)+1(x+y)=x+y+x+y $$ (entre paréntesis pueden omitirse porque de asociatividad). En el otro lado $$ z=(1+1)x+(1+1)y=1x+1x+1y+1y=x+x+y+y $$ Por lo tanto, ser $V,+$ un grupo, que podemos hacer $$ (-x)+x+y+x+y+(-y)=(-x)+x+x+y+y+(-y) $$ lo que da $$ y+x=x+y $$

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Una correcta objeción podría ser que, la eliminación de la conmutatividad de la suma axiomas, sólo con derecho a cero y a la derecha los opuestos se supone. Sin embargo, un resultado general sobre monoids se aplica.

Deje $M$ ser un (multiplicativo) semigroup, con derecho a la identidad de $e$. Si cada elemento tiene un derecho $e$-inversa, entonces cada elemento tiene una izquierda $e$-inversa y el derecho a la identidad de $e$ también está a la izquierda de la identidad.

La suposición es que el $ae=a$, para todos los $a\in M$, y que, para todos los $a\in M$ existe $b\in M$ tal que $ab=e$.

Deje $a\in M$ $b\in M$ tal que $ab=e$. A continuación,$bab=be=b$, por lo tanto, si $c\in M$$bc=e$,$babc=bc$, por lo tanto $ba=e$. Por otra parte, $ea=aba=a$. Por lo tanto $e$ también está a la izquierda de la identidad y la $b$ a la izquierda de la inversa de $a$.