Bicondicional

Question

Que $n$ ser un número primo con $n \equiv -1 \mod 6$ y $a,b$ enteros positivos. Quiero probar: $$a^2+ab+b^2 \equiv 0 \mod n \iff a\equiv b\equiv 0 \mod n$ $

Answer 1

$a^2+ab+b^2\equiv0 \pmod n\to a^3-b^3\equiv0 \pmod n\to (ab')^3\equiv1\pmod n\to 3\mid n-1\; or\; a\equiv b \pmod 3$ $b'$ Dónde está el inverso del $b$ $\pmod n$. Porque $3\nmid n-1$ tenemos $a\equiv b \pmod n$ $n\mid 3a^2$ eso tenemos tenemos $(n,3)=1$ así que tenemos $n\mid a^2$ y $a\equiv 0 \pmod n$.