Ecuación de diophantine con exponentes principales

Question

<blockquote> <p>Demostrar que la ecuación de $2^p+3^p = a^n$ no tiene soluciones, donde $p$ es un número primo y $a,n > 1$ son números enteros.</p> </blockquote> <p>Lo único que probado es que el % es divisible por $2^p+3^p$ $5$o eso él es igual a $5$ modulo $p$ (pequeño Teorema de Fermat).</p>

Answer 1

Sugerencia.

Puesto que han demostrado $a$ debe ser divisible por $5$, reducir la ecuación modulo $25$ y ver lo que usted puede deducir.

Answer 2

Reescribir la ecuación como: $$\frac {2^p+3^p}{a^n}=1$ $ se puede utilizar el LTE para analizar el poder de $n$.

Ahora $a=p_1^m\cdot p_2^m\cdot ....\cdot p_j^m\cdot ....\cdot p_k^m$ y por el teorema LTE el mayor poder que divide $2^p+3^p$ es: %#% $ #% ahora se analizan dos casos:

$$\upsilon(2+3)+\upsilon(p)$ Si $1)$

El mayor poder que divide $p_j\neq p$ es $5$ $1$ o $p_j=5$ si $0$

$p_j\neq 5$ Si $2)$

el poder de graetest que se divide el $p_j=p$ es $2^p+3^p$ $1$ y $p_j\neq 5$ si $2$ y $P_j=p=5$ $.

Answer 3

Desde que uno está buscando $2^p + 3^p$ como una potencia, y $p$ primer, el primer solo que da un múltiplo de 25 $2^p+3^p$ es $p=5$. Pero $275$ no es una potencia de nada.

Cualquier otro primer da un múltiplo de 5 y un no múltiplo de 5.