$\vDash \varphi$ si y solo si $\| \varphi \|_A =1$ para cada estructura de valores booleanos $A$

Question

En el libro Teoría axiomática de conjuntos (Takeuti, G; Zaring, W.M. - 1973) el teorema 6.4 establece que si $\varphi$ es una fórmula cerrada de un lenguaje dado entonces se satisface en cada estructura valorada booleana si y solo si es lógicamente válida. Un lado es trivial, dado que $\varphi$ es lógicamente válida si y solo si se satisface en cada estructura $\{0,1\}$ y $\{0,1\}$ es un álgebra booleana completa. Lo que no entiendo es el lado de la demostración, usa el siguiente resultado:

(Rasiowa-Sikorski) Si B es un álgebra booleana, si $a_0\in \textbf{B}\setminus\{0\}$ y $b_n = \sup A_n \in \textbf{B}$, $A_n\subset \textbf{B}$ y $n\in \omega$, entonces existe un homomorfismo booleano $f: \textbf{B}\rightarrow \{0,1\}$ tal que $f(a_0)=1$ y $f(b_n)=\sup f(A_n)$.

De la siguiente manera: si $\varphi$ no es satisfecha por alguna estructura $\textbf{B}$ $A$ es decir, $\| \varphi \|_A=b\neq 1 $ entonces la computación de $\| \varphi \|_A$ solo requiere un número finito de aplicaciones de la definición de $\|\cdot \|_A$, digamos: $b_1=\inf A_1,...,b_n=\inf A_n$ y $b'_1=\sup B_1,\dots,b'_n=\sup B_n$ y ahora salta a la conclusión y no entiendo por qué lo puede hacer (tal vez sea trivial, pero no lo veo): Por el Teorema Rasiowa-Sikorski, existe un homomorfismo $f:\textbf{B}\rightarrow \{0,1\}$ tal que $f(b)=0$. El resultado final se sigue fácilmente de eso, mi problema está con ese paso.

Answer 1

Pista

La prueba asume que $b \ne 1$ y podemos considerar el caso de que $b=b'_n=\sup B_n$.

Según el Teorema R-S existe un homomorfismo $h: \textbf{B}\rightarrow \textbf{2}$ tal que: $h(b'_n)=\sup h(B_n)$.

Pero - ver la prueba del Teorema R-S, página 29 - un homomorfismo entre álgebras booleanas mapea $0$ en $0$ y $1$ en $1. Esto significa que, si $b'_n=b \ne 1$, entonces también $h(b)\ne 1$.

Pero $h(b) \in \textbf{2}$ y por lo tanto, si no es $1$, debe ser $0$.