Una función $f$ satisface la condición $f[f(x) - e^x] = e + 1$ % todos $x \in \Bbb R$.

Question

Que $f$ es una función tal que $f[f(x) - e^x] = e + 1$ % todos $x \in \Bbb R$. Encontrar $f(\ln 2)$.

He considerado dos casos:

1. $f(x) = e^x + c$, donde $c$ es constante. Entonces $f(c) = e^c + c = e + 1$, lo que implica que $c = 1$, así $f(x) = e^x + 1$y $f(\ln 2) = 3$.
2. $f(x) = e + 1$. Esto claramente satisface las condiciones y así $f(\ln 2) = e + 1$.

Ahora quiero saber como analizar esta ecuación más. ¿Y es posible encontrar todas las $f$ que satisfacen la ecuación anterior?

Answer 1

La solución general para $f$ es feo y en gran medida se basa en el axioma de elección. Va como esto:

1. Elegir un conjunto no vacío de números reales $A$, no importa cuán grande o pequeño. Puede ser continuo, o tal vez contables, o finito, o consisten en un solo punto. Definir $f(x)=e+1$ cualquier $x\in A$.

2. $\forall x\not\in A$ (si la hubiere), seleccione el $C\in A$ y definen $f(x)=e^x+C$.

Su primera solución se plantea si elegimos $A=\{1\}$ y el segundo es el resultado de $A=\mathbb R$.

Que es lo que pasa cuando la continuidad ni se requiere de forma explícita ni forzada por la ecuación en sí.

Volvemos a la pregunta original: $f(\ln2)$ puede ser cualquier cosa, excepto $2+\ln2$.