Para evaluar…

Question

Qué cambio de variable debo usar para integrar $$\displaystyle\int {1\over (1+kx^2)^{3/2}}dx$ $

¿Sé que la respuesta es tal vez $$\displaystyle x\over \sqrt{kx^2+1}.$ $ trig o función hiperbólica?

Answer 1

$\int \dfrac{1}{(1+kx^2)^{3/2}}dx$

Poner $1+kx^2=t$, entonces, $$2kx\cdot dx = dt \text{. Also, } x = \sqrt{t-1\over k}$ $ $$2kx\cdot dx = dt$ $

$$dx = \frac{dt}{2kx} = \frac{\sqrt{k}dt}{2k\sqrt{t-1}}= \frac{dt}{2\sqrt{k}\sqrt{t-1}}$$

$\int \dfrac{1}{(1+kx^2)^{3/2}}dx=$ $\int \dfrac{1}{2t^{1.5}\sqrt{k}\sqrt{t-1}}dt$ $$\dfrac{1}{2\sqrt{k}}\int \dfrac{1}{t^{1.5}.\sqrt{t-1}}dt=\dfrac{1}{2\sqrt{k}}\dfrac{2\sqrt{t-1}}{\sqrt{t}}=\dfrac{1}{\sqrt{k}}\dfrac{\sqrt{t-1}}{\sqrt{t}}$$

$$=\dfrac{1}{\sqrt{k}}\dfrac{\sqrt{t-1}}{\sqrt{t}}$$ $$=\dfrac{1}{\sqrt{k}}\dfrac{\sqrt{kx^2}}{\sqrt{1+kx^2}}$$ $$=\dfrac{x}{\sqrt{1+kx^2}}$$

Answer 2

Para fines de claridad

$$ \begin{align} \dfrac{1}{2\sqrt{k}}\int \dfrac{1}{t^{\frac{3}{2}} \sqrt{t-1}}dt &= \dfrac{1}{2\sqrt{k}}\int \dfrac{\sqrt{t}}{t^{2} \sqrt{t-1}}dt\ &= \dfrac{1}{2\sqrt{k}}\int \dfrac{1}{t^{2} \sqrt{1-\frac{1}{t}}}dt \tag{A} \end{align} $$

Ahora en esta integral anterior sustituir

$$ \sqrt{1-\frac{1}{t}} = u$ $ que implicaría

$$ \frac{1}{2t^2 \sqrt{(1-\frac{1}{t})}} dt = du$$

Por lo tanto, se simplifica $(A)$

$$ \frac{1}{2\sqrt{k}} \int 2 du = \frac{1}{2\sqrt{k}} 2u = \frac{u}{\sqrt{k}} = \left(\sqrt{\frac{t-1}{tk}}\right) = \frac{x}{\sqrt{1+kx^2}}$$