Secciones hiperplanas en superficies proyectivas

Question

Estoy estudiando el libro de Beauville "Superficies algebraicas complejas". En la página 2 define la forma de intersección (.) en el grupo de Picard de una superficie. Para $L, L^\prime \in Pic(S)$

$$(L.L^\prime)=\chi(\mathcal{O}_S)-\chi(L^{-1})-\chi(L^{\prime-1})+\chi(L^{-1}\otimes L^{\prime-1})$$

Por qué la auto-intersección (es decir $(H.H)=H^2$ ) de una sección hiperplana $H$ en $S$ es siempre positivo?

Answer 1

Esta auto-intersección es exactamente el grado de $S$ .

Concretamente, elija $H$ y $H'$ en posición general, entonces $S \cap H$ y $S \cap H'$ son dos curvas en $S$ y se cruzan en un cierto número de puntos. Este ya muestra que la intersección es no negativa. El hecho de que sea positiva es un hecho general sobre las variedades proyectivas: las variedades proyectivas de dimensión complementaria siempre tienen un positivo número de puntos de intersección. (Aplique esto a $S$ que es de dimensión $2$ y $H \cap H'$ que es un subespacio lineal de codimensión $2$ es decir, de dimensión complementaria a $S$ .)