¿Es cierto que todos los números primos son de la forma $6m \pm 1$ ?
En caso afirmativo, ¿podría darnos un ejemplo?
Gracias de antemano.
Incluso para 2 y 3 tenemos 2 modulo 6 = 2 y 3 modulo 6 = 3 pero que no podemos generarlos con esta fórmula
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Esto es cierto para todos los números primos excepto para $2$ y $3$ . La razón es que los números con resto $0$ , $2$ y $4$ modulo $6$ son divisibles por $2$ y números con resto $0$ y $3$ modulo $6$ son divisibles por $3$ así que aparte de $2$ y $3$ todos los números primos deben tener resto $1$ o $5$ modulo $6$ .
@oussama: Sí, esto es lo que intentaba decir: $2$ y $3$ son primos, pero no se pueden generar con esta fórmula, ya que sus residuos modulo $6$ son $2$ y $3$ respectivamente, no $1$ o $5$ . Un número divisible por $2$ o $3$ sólo puede ser primo si es $2$ o $3$ ya que, de lo contrario, sería divisible por un número distinto de sí mismo.
Podemos utilizar un número mayor que 6 (que verifique esta propiedad) para generar números primos de una manera más rápida. perdón por mi inglés
Bryan Roth
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Las clases $1$ y $5$ son los dos clases de residuos reducidos modulo $6$ es decir, son las clases de congruencia módulo $6$ que son relativamente primos de $6$ . Cualquier número primo suficientemente grande tiene que estar en una de estas clases reducidas de residuos, ya que de lo contrario compartiría un factor común con $6$ . En este caso está bastante claro que "suficientemente grande" significa cualquier primo $p \geq 5$ .
En términos más generales $d$ cualquier número entero positivo. Entonces, por el mismo razonamiento, todos los números primos, excepto finitamente muchos, deben estar en uno de los $\varphi(d)$ clases de residuos reducidos modulo $d$ . Dado que existen $d$ clases de residuos modulo $d$ en total, esto demuestra que la "probabilidad" de que un número grande sea primo es como máximo de $\frac{\varphi(d)}{d}$ . No es difícil demostrar que para todos $\epsilon > 0$ existe $N \in \mathbb{Z}^+$ tal que $\frac{\varphi(N)}{N} < \epsilon$ . Esto demuestra que la "probabilidad de que un número grande sea primo" es cero -- o, cuando este negocio de probabilidades se hace riguroso refundiéndolo en términos de densidad -- que los números primos tienen densidad cero dentro de los enteros positivos:
$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{ \pi(n)}{n} = 0$ .
(Esta es una consecuencia débil del Teorema de los Números Primos, pero como vimos, ciertamente no es necesario conocer PNT para demostrarlo).
Este argumento figura en $\S 3$ de estas notas de un curso universitario de teoría de números. El argumento no parece ser del todo estándar, pero creo que es una forma atractivamente directa de demostrar que los primos tienen densidad cero. También hay una curiosa ironía en que la forma de ver la afirmación anterior sobre los $\varphi$ consiste en tomar $N = p_1 \cdots p_k$ para grandes $k$ (el argumento se indica en $\S 3$ de este otro folleto ). Por lo tanto, para demostrar que los primos tienen densidad cero, estamos utilizando el hecho de que hay infinitamente muchos de ellos. Pues bien, si no lo supiéramos, dividiríamos la demostración en dos casos: en caso de que sólo hubiera un número finito de primos, ¡su densidad sería claramente cero!
Dan Walker
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Todos los números enteros $n\ge 3$ adoptar una de estas formas
$$6k,6k\pm 1,6k\pm 2=2\left( 3k\pm 1\right) ,6k\pm 3=3(2k\pm 1),\qquad k=1,2,3,\dots$$
donde $6$ es el producto de los dos primeros primos ( $2$ y $3$ ). Dado que $6k,6k\pm 2,6k\pm 3$ no son primos, nos queda $p=6k\pm 1$ . Por lo tanto, todos los primos $p>3$ son de la forma $$6k\pm 1\qquad k=1,2,3,\dots .$$
Añadido : como ejemplos (solicitados en la pregunta editada), podemos tomar el número primo $17$ que es de la forma $17=6k-1=6\cdot 3-1$ y el número primo $31$ de la forma $31=6k+1=6\cdot 5+1$ .
Tomando el producto de los tres primeros primos $30=2\cdot 3\cdot 5$ este argumento se generaliza inmediatamente a
$$p=30k\pm r,\qquad p\geq 13,$$
con $r=1,7,11,13$ .
Y por un argumento más fácil también podríamos demostrar que si un número entero positivo no es de la forma $4k\pm 1$ , ( $k=1,2,3,\dots$ ), entonces no es un primo.
Esto generaliza la
Propuesta . Si un número $p>2$ es un primo, entonces
$$p=4k\pm 1.$$
Américo: a lo que Tony se refiere es a tu afirmación sobre los primos de la forma p=30k+-r - olvidaste r=1 en tu lista de clases de residuos mod 30...
pedja
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7773
Sabemos que todo número entero tiene una de las formas 6K+r, con 0 r < 6. Aparte de 2, cada número entero de la forma 6K, 6K+2 o 6K+4 tiene un factor propio 2. Aparte de 3, cada número entero de la forma 6K o 6K+3 tiene un factor propio 3. Así, cualquier primo distinto de 2, 3 tiene una de las formas 6K+1, 6K+5. Los números de este último tipo pueden reescribirse como 6L-1, donde L = K-1.
George
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759
De hecho, es más cierto. Los números primos se distribuyen por igual entre estas dos clases de residuos, según la versión más fuerte del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas, un teorema prominente en la teoría analítica de números.
En términos más generales, dado cualquier número entero positivo $N$ los primos se distribuyen equitativamente entre las clases de residuos que son relativamente primos de $N$ . En el caso de $N =6$ Su sorpresa se debe a que sólo existen dos clases de residuos de este tipo: $\pm 1$ . Lo mismo ocurre con $N =4$ y podría ser menos sorprendente para usted allí.
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Ver también math.stackexchange.com/questions/27883/
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¿No es trivial? Cualquier $n \equiv 0,2,3,4 \pmod 6$ es par o divisible por 3 (porque $6 = 2 \cdot 3$ ). Así que para ser primo (aparte de 2 o 3) entonces $n \equiv 1,5 \pmod 6$ (o $n=6m \pm 1$ lo mismo)
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Todos los primos > 3, sí. (2 y 3 son casos especiales obvios).
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Las respuestas pueden resumirse en un silogismo: 1. Todos los números (no unitarios) que son coprimos de $2$ y/o $3$ tienen la forma $6m \pm 1$ . 2. Números primos (distintos de $2$ y $3$ ) son coprimos de $2$ y/o $3$ . 3. Por lo tanto, los números primos (distintos de $2$ y $3$ ) tienen la forma $6m \pm 1$ .