¿Para qué sirven las normas?

Question

Estas dos preguntas son bastante similares a este Así que pido disculpas si esto irrita a alguien. Además, sospecho que se pueden decir muchas cosas en la respuesta, así que en realidad sólo busco algunos puntos principales (¿tal vez una referencia?).

1. Si tenemos un espacio vectorial $V$ con una norma $||\cdot||$ entonces implica que $(V,d)$ es un espacio métrico con métrica $d(x,y)=||x-y||$ . A su vez, esto da acceso a enormes partes del análisis (al utilizar la métrica para definir conjuntos abiertos/cerrados, límites, continuidad, etc.). Pero, aparte de inducir métricas, ¿para qué más sirven las normas?

2. En su caso, en cuántos de estos usos podría $d(x,0)$ , donde $0$ denota la identidad aditiva de $V$ , reemplazar $||\cdot||$ ? Si $||\cdot||$ no puede ser sustituido por $d(x,0)$ ¿Por qué? ¿Será que la homogeneidad de $||\cdot||$ ¿es especialmente importante?

Gracias.

Answer 1

Las normas se inspiran en la función de distancia euclidiana y se refieren a una clase generalizada de métricas $d$ que para un espacio lineal normado $V$ satisfacen las propiedades:

• $d(a,b) = d(a-b,0) = d(0,b-a)~\forall~a,b \in V$
• $d(\lambda u,0) = |\lambda| d(u,0)~\forall u \in V$
• $d(a,b) \le d(a,c)+d(c,b)$
• $d(a,b) \ge 0$ con igualdad $\iff a=b.$