¿Por qué hace $\mathrm{div}\ V$ representan cuánto $V$ expansión o contratación? Por su definición sé que divergencia significa desviarse de su ruta original, pero ¿qué $\mathrm{div}\ V$ hace tan $V$ se expande o contratos, existe una fórmula de $\mathrm{div}$ que lo explica?
Respuestas
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Una definición común de la divergencia es $$ \operatorname{div}{F(x)} = \lim_{\text{Vol}(S) \to 0} \frac{1}{\text{Vol}(S)} \int_S V \cdot dS, $$ donde $S$ es de sensible (es decir, smoothish, acotado, y si quieres una vida fácil, convexo) las superficies que delimitan el punto de $x$. Un obvio juego de $S$ a tomar es la de las esferas, que le da un poco más concreto $$ \operatorname{div}{F(x)} = \lim_{r \to 0} \frac{3}{4\pi r^3} \int_{\lvert x'- x \rvert=r} V(x') \cdot dS', $$ o uno puede mostrar directamente que esto le da a la expresión usual $ \sum_i \partial_i V_i$ tomando cubos o cuboides y la expansión de $F$ en una potencia de la serie acerca de la $x$.
El punto entero de esta definición es que la divergencia es, entonces, evidentemente, se define como un límite de la corriente de $V$ a través de las superficies que rodean el punto, (y es coordinar independiente, que también es una buena idea en general). De ahí la divergencia claramente se relaciona con la expansión/contracción causada por el campo de vectores.
user26872
Puntos
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Que $D$ sea una pequeña región esférica centrada en el punto $P$. Por el teorema de la divergencia, $$(\nabla\cdot{\bf V})_P \approx \frac{1}{\mathrm{vol}(D)} \iint_S {\bf V}\cdot{\bf n}\, dS.$ $ pero el flujo neto de $\iint_S {\bf V}\cdot{\bf n}\, dS$ a través de la superficie ${\bf V}$ $S$ $D$. Así, $\nabla\cdot{\bf V}$ es una medida de la fuente del campo ${\bf V}$.
