¿Por qué las fuerzas de $ac=b^2$ $a,c$ a ser plazas si $a,c$ son coprimos?

Question

Yo estaba navegando por este post: Demostrar que $a^2 + b^2 + c^2 $ no es número primo

Una de las respuesta tiene la siguiente declaración:

"Si los números de $a$ $c$ son coprime, entonces la ecuación de $ac=b^2$ junto con la única factorización fuerzas de $a$ $c$ a plazas".

Sé que esto debe ser una pregunta trivial. Sin embargo, no estoy seguro de cómo mostrar la afirmación anterior es correcta? Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Mira el primer factorizaciones. En $b^2$, todos primos aparecen como poderes incluso. Por lo tanto, en $ac$, debe ocurrir como potencias incluso. En $ac$, puesto que son coprimos, éste es el producto de los números primos en la factorización de $a$ veces el producto de los números primos en la factorización en $c$, no se superponen, no hay números primos en común. Por lo tanto, los números primos en la factorización de $a$ deben haber sido incluso poderes para comenzar con y semejantemente con $c$.

Answer 2

De hecho, uno puede explícitamente muestran que $\rm\:a,c\:$ son cuadrados tomando gcds. Es decir,

Lema $\rm\ \ (a,b,c) = 1,\ ac = b^2\ \Rightarrow\ a = (a,b)^2,\ c = (c,b)^2\ $ $\rm\:a,b,c\in \mathbb N$

Prueba de $\rm\ \ (a,b)^2 = (a^2,ab,b^2) = (a^2,ab,ac) = a(a,b,c) = a\ \ $ QED

El tuyo es el caso especial $\rm\:(a,c) = 1\ (\Rightarrow\ (a,b,c) = 1)$. Tenga en cuenta que la anterior prueba utiliza sólo universal mcd leyes (asociativa, conmutativa, distributiva) por lo que se generaliza a cualquier mcd de dominio/monoid.

Generalmente, $\rm\: ac = bd\: \Rightarrow\: (a,b)(a,d) = (aa,ab,bd,ad) = a\: (a,b,c,d) = a\:$ si $\rm\:(a,b,c,d) = 1.\:$ Para más información sobre este y estrechamente relacionados con temas tales como la de Euler número cuatro teorema (Vierzahlensatz), Riesz interpolación, o Schreier refinamiento de ver este post y este post.

Answer 3

Pues si decírnoslo ambos $a$ y $c$ en ceba entonces el hecho de que $a,c$ son coprimos nos dice que no hay ningún primer común en el factorisations.

Esto significa que cuando haces el producto, para obtener una plaza debe tener un poder incluso de cada principal ocurriendo... por lo tanto, $a,c$ son cuadrados perfectos.