Integral de Sinc épocas exponente del cuadrado de la variable

Question

Me gustaría integrar esto en mi investigación:

$$\int\limits_{-\infty}^\infty{\frac{e^{i b x^2}\sin{(a x)}}{x}}dx$$

donde a y b son reales, y mayor que cero. Si es posible, me gustaría dar un paso más allá e integrar

$$\int\limits_{-\infty}^\infty{\frac{e^{i b (x-c)^2 }\sin{(a x)}}{x}}dx$$

donde c es complejo.

El tema es la turbulencia, y puede determinar una respuesta exacta en Mathematica dejando a y b, digamos, 3 y 5 (con c=0). Integrales de Fresnel aparecen.

Las rutas que he intentado:

1. He escrito $1/x$$\int_\infty^\infty{e^{-s x}}dx$.
2. Siguiente (1), he expandido $e^{i b (x-const)^2}$ (dada la transformada de Laplace de $x^m$), pero el resultado de la serie incluyen términos con con $(2n)!$ en el numerador tales que la serie se separaron cuando la suma de$n=0$$n=\infty$.
3. He representado $\frac{\sin(a x)}{x}$$\int_0^a {\cos(\alpha x)}d\alpha$, lo cual por supuesto de los rendimientos divergentes desde el $1/x$ es lo que permite la convergencia.
4. Siguiente (1), he escrito el $e^{i b x^2}$ plazo, como la derivada de la suma de la integral de Fresnel funciones. Tomando un contorno integral de los rendimientos de una función con las integrales de Fresnel. Este resultado puede ser verificado en Mathematica. El problema es que, una vez que llegué aquí (es decir, tomando la transformada de Laplace de $e^{i b x^2}$), la integral sobre s se convierte en complicado (hasta el punto de que Mathematica no se puede resolver analíticamente, incluso cuando a,b,c se especifican). Esto parece no ser la forma en que Mathematica es la solución de la integral original.

Answer 1

Para la primera, deshacerse del exceso de parámetro mediante el establecimiento $c=\frac{b}{a^2}$: $$I= \int_{\mathbb{R}}e^{ibx^2}\frac{\sin(ax)}{x}\,dx = \int_{\mathbb{R}}e^{icx^2}\frac{\sin x}{x}\,dx=\text{Im PV}\int_{\mathbb{R}}e^{icx^2+ix}\frac{dx}{x}$$ a continuación, traducir el $x$ variable con el fin de obtener: $$I = \text{Im}\left(e^{-\frac{i}{4c}}\,\text{PV}\int_{\mathbb{R}}e^{icx^2}\frac{dx}{x-\frac{1}{2c}}\right)$$ Ahora el interior de la integral puede ser evaluado en términos de la $\text{Erfi}$ función. Tomando la parte imaginaria de la integral multiplicado por $e^{-\frac{i}{4c}}$, las integrales de Fresnel hacen su aparición:

$$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{icx^2}\frac{\sin x}{x}\,dx = \pi(1+i)\left(C\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi c}}\right)-S\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi c}}\right)\right) \tag{1}$$

donde: $$S(x) = \int_{0}^{x}\sin\left(\frac{\pi t^2}{2}\right)\,dt,\qquad C(x) = \int_{0}^{x}\cos\left(\frac{\pi t^2}{2}\right)\,dt.$$ Ahora $(1)$ puede ser comprobado mediante la diferenciación de ambos lados con respecto a $c$, considerando el límite de ambos lados como $c\to 0^+$. Otra posibilidad es tomar la transformada de Fourier de $\frac{\sin x}{x}$, que es un múltiplo de la función de indicador de $(-1,1)$, e integrarlo en contra de la inversa de la transformada de Fourier de $e^{icx^2}$, que es dada por la misma función multiplicada por una constante real los tiempos de $\sqrt{2ic}$.