En primer lugar, una definición sencilla. El sumset de dos subconjuntos $\mathcal{S}_1$ $\mathcal{S}_2$ contiene $GF(q)$ elementos se define como:
$$\mathcal{S}_1 + \mathcal{S}_2 = \left\{ s_1 + s_2:s_1 \in \mathcal{S}_1,s_2 \in \mathcal{S}_2 \right\}.$$
Yo también uso la definición común: $g \cdot \mathcal{S}_1 = \left\{ g \cdot s_1:s_1 \in \mathcal{S}_1 \right\}$ algunos $g \in GF(q)$. Tenga en cuenta que $GF(q)$ aritmética es de suponer.
Por ejemplo, suponga que $q=4$ y $\alpha$ es un primitivo elemento de GF($4$). Entonces:
$$\{ 0,\alpha \} + \{ 0,\alpha \} = \{ 0 + 0,0 + \alpha ,\alpha + 0,\alpha + \alpha \} = \{ 0,\alpha \}.$$
$$\{ 0,\alpha \} + \{ 0,1,\alpha \} = \{ 0 + 0,0 + 1,0 + \alpha ,\alpha + 0,\alpha + 1,\alpha + \alpha \} = \{ 0,1,\alpha,\alpha ^2 \}.$$
$$\alpha \cdot \{ 0,1,\alpha \} = \{ 0,\alpha,\alpha ^2 \}.$$
Mi pregunta es la siguiente. Suponer que los conjuntos de $\mathcal{S}_1$ $\mathcal{S}_2$ son variables aleatorias iid que contiene el símbolo $0$. Los elementos adicionales de cada grupo al azar (sin repetición), de tal manera que cada una de las $GF(q)$ subconjunto (con $0$) de un determinado tamaño se equiprobables. Por ejemplo, si $q=4$, a continuación, existen probabilidades de $p_1,p_2,p_3,p_4$ tal forma que:
I. $\Pr ( S_1 = \{ 0 \} ) = p_1$,
II. $\Pr \left( {{S_1} = \left\{ {0,1} \right\}} \right) = \Pr \left( {{S_1} = \left\{ {0,\alpha } \right\}} \right) = \Pr \left( {{S_1} = \left\{ {0,{\alpha ^2}} \right\}} \right) = {p_2},$
III. $\Pr \left( {{S_1} = \left\{ {0,1,\alpha } \right\}} \right) = \Pr \left( {{S_1} = \left\{ {0,1,{\alpha ^2}} \right\}} \right) = \Pr \left( {{S_1} = \left\{ {0,\alpha ,{\alpha ^2}} \right\}} \right) = {p_3},$
IV. $\Pr \left( {{S_1} = \left\{ {0,1,\alpha ,{\alpha ^2}} \right\}} \right) = {p_4}.$
Además, $h_1$ $h_2$ son variables aleatorias iid, distribuidos de manera uniforme sobre el conjunto de $\left\{ {1,\alpha ,{\alpha ^2},...,{\alpha ^{q - 2}}} \right\}$ (es decir, $h_1$ $h_2$ puede ser cualquier elemento no nulo de GF($q$) con una probabilidad de $1/(q-1)$). Indicar: $\mathcal{S}_{\rm out} = {h_1} \cdot {\mathcal{S}_1} + {h_2} \cdot {\mathcal{S}_2}.$
Quiero demostrar que $\mathcal{S}_{\rm out}$ es también distribuidas de tal manera que cada GF($q$) subconjunto de un determinado tamaño que contiene a $0$ es equiprobables. (Como un caso especial, esto significa que el I-IV anteriores mantienen para $\mathcal{S}_{\rm out}$ con $p_1', p_2',p_3',p_4'$).
Lo que he intentado:
Hasta ahora he observado que $\mathcal{S}_{\rm out}$ establece que difieren por un factor multiplicativo son equiprobables, como $g \cdot {\mathcal{S}_{\rm out}} = g \cdot {h_1} \cdot {\mathcal{S}_1} + g \cdot {h_2} \cdot {\mathcal{S}_2}$ (para algunos $g \in$ GF($q$)) tiene la misma distribución que $\mathcal{S}_{\rm out}$, ya que el $g \cdot h_1, g \cdot h_2$ quedan distribuidos de manera uniforme. De hecho, esto es independiente de la distribución de $\mathcal{S}_1$$\mathcal{S}_2$. Sin embargo, yo no podía llegar con una idea de cómo extender esta relación a los conjuntos del mismo tamaño que no difieren por un factor multiplicativo. En esos casos, uno debe demostrar que todo elemento de sabios traducciones de $\mathcal{S}_{\rm out}$ de un tamaño dado tiene la misma probabilidad.
