$\mathbb{Q}(\sqrt{p},\sqrt[3]{q})= \mathbb{Q}(\sqrt{p}\cdot \sqrt[3]{q})$ ??

Question

Sea $p,q$ primes, $p≠q$, entonces tengo que demostrar que $\mathbb{Q}(\sqrt{p},\sqrt[3]{q})= \mathbb{Q}(\sqrt{p}\cdot \sqrt[3]{q})$

Hasta ahora he probado un montón de cosas con polinomios mínimos y las bases, pero estoy muy lejos de cualquier argumento que me parece suficiente.

Este es un ejemplo de mi curso de álgebra, primer capítulo sobre la extensión del campo. Hasta ahora sabemos sobre definiciones básicas, mínimas polinomios y sus propiedades, elementos algebraicos y campos algebraicos.

¿Alguien quizás me podría dar una pista acerca de cómo proceder? ¡¡¡Muchas gracias!!!

Answer 1

Sugerencia: Que $K = \Bbb Q(\sqrt{p}\sqrt[3]{q})$ y $\alpha = \sqrt{p}\sqrt[3]{q}$. $\alpha^3/(pq) = \sqrt{p} \in K$ Y $\alpha/\sqrt{p} = \sqrt[3]{q} \in K$.