En busca de una explicación intuitiva por qué la fila de la fila es igual al rango columna de una matriz

Question

Estoy en busca de una explicación intuitiva en cuanto a por qué/cómo rango de una matriz de la fila = fila columna. He leído la prueba en http://en.wikipedia.org/wiki/Rank_of_a_linear_transformation y entiendo la prueba, pero no "conseguirla". ¿Alguien me puede ayudar hacia fuera con esto?

Me resulta difícil de envolver mi cabeza alrededor de la idea de cómo el espacio columna y espacio fila está relacionado a un nivel fundamental.

Answer 1

Usted puede aplicar operaciones elementales con sus filas y primaria en la columna de operaciones para llevar una matriz $A$ a a la matriz que se encuentra en ambos fila reducido de forma escalonada y de la columna de reducción de forma escalonada. En otras palabras, existen invertible matrices $P$ y $Q$ (que son producto de matrices elementales) tales que $$PAQ=E:=\begin{pmatrix}I_k\\&0_{(n-k)\times(n-k)}\end{pmatrix}.$$ Como $P$ y $Q$ se invertible, el número máximo de filas linealmente independientes en $Un$ son iguales al número máximo de filas linealmente independientes en $E$. Es decir, la fila del rango de $A$ es igual a la fila del rango de $E$. Lo mismo para la columna filas. Ahora es evidente que el rango fila y columna de rango de $E$ son idénticos ($k$). Por lo tanto el mismo es de $A$.

Answer 2

Este post es bastante antiguo, por lo que mi respuesta podría venir un poco tarde. Si usted está buscando una intuición (que quieren "hacerlo") en lugar de una demostración (de los cuales hay varios), entonces aquí está mi 5c.

Si usted piensa de una matriz a en el contexto de resolver un sistema de ecuaciones simultáneas, entonces la fila-rango de la matriz es el número de ecuaciones independientes, y la columna de rango de la matriz es el número de parámetros independientes que se pueden estimar a partir de la ecuación. Que creo que hace un poco más fácil ver por qué deben ser iguales.

Saad.

Answer 3

Una forma de ver el rango de $r$ a de $n\times m$ matriz $A$ con entradas en un campo $K$, que es el número más pequeño de tal manera que uno puede factor lineal mapa de $f_A:K^m\K^n$ correspondiente a $A$ a través de un espacio intermedio, de dimensión$~r$, en otras palabras, como una composición de $K^m\K^r\K^n$ (toma $C$ y $B$ como las matrices correspondientes a los dos pasos, esto significa que uno tiene una descomposición $A=BC$ de $Un$ como el producto de una $n\times r$ y $r\times m$ matriz). Ahora uno puede siempre el factor $f_A$ a pesar de la imagen $\operatorname{Im}f_A\subseteq K^n$, $K^m\a\operatorname{Im}f_A\hookrightarrow K^n$, y por otro lado, esta imagen no puede tener una dimensión mayor que el de un espacio a través de los cuales $f_A$ factores; por lo tanto el rango es igual a $\dim\operatorname{Im}f_A$. Pero esa dimensión es igual al número máximo de columnas de $A$, su columna de rango.

Por otro lado, se pueden ver las filas de $Un$ como funciones lineales en $K^m$ que describen las coordenadas de $f_A(x)$ en función de $x$, y la fila rango de $s$ es el máximo número de independientes de tales funciones, como un conjunto independiente de $s$ independientes filas es elegido, el resto de las coordenadas de $f_A(x)$ cada uno puede ser descrito por un fijo combinación lineal de las coordenadas (debido a sus filas son combinaciones lineales de las filas). Pero esto significa que uno puede factor $f_A$ través $K^s$, con el mapa de $K^s\K^n$ la reconstrucción de los dependientes de las coordenadas. El elegido coordenadas son independientes, por lo que no es trivial relación entre ellos, y el mapa de $K^m\K^s$ es, por tanto, surjective. Esto significa que $f_A$ no factor a través de un espacio de dimensión menor que $s$, por lo que la fila del rango de $s$ es también igual al rango de $A$.

En lugar de que el argumento separado que implican la fila de rango, también se puede interpretar la fila del rango de $Un$ como la columna de rango de la transpuesta de la matriz $A^t$. Ahora uno puede factor $A=BC$ si y sólo si uno puede factor $A^t=C^tB^t$; a continuación, el mínimo de $r$ tales que uno escribe $A=BC$ con $B\en M_{n,r}$ y $C\in M_{r,m}$ (la columna de rango de $$) obviamente es igual a la mínima $r$ tales que uno escribe $A^t=C^tB^t$ con $C^t\en M_{m,r}$ y $B^t\en M_{r,n}$ (la columna de rango de $A^t$, y la fila rango de$$ ).

Answer 4

El rango de una matriz $A$ se define como el tamaño más grande de cualquier submatriz cuadrada (menor) con determinante no nulo. Entonces si ves las columnas de $A$ como vectores, el rango de A puede considerarse como el número máximo de linealmente independientes tales vectores. Finalmente, tenga en cuenta que det(M)=det(M^T), y si $M$ es un menor de edad de $A$ y $M ^ T$ es un menor de edad de $A ^ T$.

Answer 5

Tal vez esto ayuda un poco con la intuición: cuando usted transponer una matriz no cambia la dimensión de la imagen. Pero cuando usted transponer una matriz, la fila de la columna se convierte en la fila de la fila y viceversa. Como la dimensión de la imagen es el rango de columna son iguales.