Ecuación de Hamilton-Jacobi con hamiltoniano dependiente del tiempo

Question

Yo estaba luchando con este ejercicio acerca de Hamilton-Jacobi ecuación. Tengo que resolver por los medios de Hamilton función principal del sistema con el Hamiltoniano: $$\etiqueta{1} H=\frac{p^2}{2m}-mAtx $$ con $A$ constante y las condiciones iniciales $t=0$, $x=0$, $p=mv_0$. Antes de atacar el Hamilton-Jacobi (HJ) la ecuación, he observado que la ecuación de movimientos son fácilmente integrables y llego $x(t)=\frac{1}{6}At^3+v_0t$$p(t)=\frac{1}{2}mAt^2+mv_0$. Tras el HJ del enfoque y el nombre de la Hamilton principal función como $S=S(x,\alpha,t)$ I set $p=\frac{\partial S}{\partial x}$ en el de Hamilton, y el HJ'sequation lee: $$\etiqueta{2} \frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^2-mAtx+\frac{\partial S}{\partial t}=0 $$ A partir de aquí no estoy seguro de cómo proceder. La separación de variables no es factible. He observado que no es una función del tipo $$\etiqueta{3} S=\frac{1}{2}mAxt^2-\frac{1}{40}mA^2t^5 $$ satisface el HJ de la ecuación, pero ¿cómo puedo establecer la constante de integración $\alpha$ a procced y resolver la ecuación?

---

**[EDITAR]**Después de investigar un poco he encontrado el camino correcto de la solución de la ecuación (2) y de hecho en mi anterior ecuación (3) es incompleta. Añado aquí la solución adecuada para $S$ a partir de (2) y un corto derivaton de la solución para $x$$p$: $$ \etiqueta{4} S(x,\alpha,t)=\left(\frac{1}{2}mAt^2+\alpha\right)x-\left(\frac{1}{40}mA^2t^5+\frac{1}{6}\alpha t^3+\frac{\alpha^2}{2m}\right) $$

(4) la ecuación de la transformada de coordenadas canónico $X$ se pueden encontrar: $$\etiqueta{5} X=\frac{\partial S}{\parcial\alpha}=x-\frac{1}{6}A^3-\frac{\alpha}{m}t $$ mientras que la expresión para el impulso $p$ es

$$\etiqueta{6} p=\frac{\partial S}{\partial x}=\frac{1}{2}mAt^2+\alpha $$ Imponiendo las condiciones iniciales de las soluciones para $x$ a partir de (5) y para $p$ a partir de (6) son identincal a los obtenidos por resolver directamente las ecuaciones de Hamilton.

Answer 1

No será más sencillo asumir que $x(t=0)=0$, así que vamos a considerar las condiciones iniciales

$$\tag{1} x(t=0)=x_0\quad\text{together with}\quad\dot{x}(t=0)=v_0.$$

Ahora la constante de $A$ tiene dimensión de tirón y la constante $m$ ha dimensión de la masa. Que efectivamente se puede poner las constantes $A=1=m$ a la unidad de escala de las variables adecuadamente

$$x ~\longrightarrow~Ax, \qquad x_0 ~\longrightarrow~Ax_0, \qquad v_0 ~\longrightarrow~Av_0, \qquad t ~\longrightarrow~t,$$

$$\tag{2}p ~\longrightarrow~mAp, \qquad H~\longrightarrow~mA^2 H, \qquad S~\longrightarrow~mA^2 S. \qquad $$

[En otras palabras, si tratamos a tiempo $t$ adimensional, entonces estamos efectivamente va a adimensional variables. Podemos siempre en el final del cálculo de la restauración de la $A$- y el $m$-dependencia haciendo lo opuesto de escala de eq. (2).]

Ahora recuerdo que el de Hamilton principal función de $S(x,P,t)$ es un tipo de 2 generación de función para una transformación canónica $(x,p) \to (X,P)$, por lo que

$$\tag{3} p~=~\frac{\partial S}{\partial x} ,\qquad X~=~\frac{\partial S}{\partial P},\qquad K-H~=~\frac{\partial S}{\partial t}. $$

El próximo recordar que el Kamiltonian $K\equiv 0$ se desvanece de forma idéntica, lo que implica que las nuevas variables canónicas $(X,P)$ son constantes de movimiento (COM). Ahora, ¿dónde vamos a encontrar dos COM? Así, las dos condiciones iniciales (1) son dos COM. Aquí se ayuda a que el OP ya ha encontrado la completa solución explícita por otro método

$$\tag{4} x~=~x_0 +v_0 t +\frac{t^3}{6}\quad\text{and}\quad p~=~v_0 +\frac{t^2}{2}.$$

Acerquémonos, pues, identificar las nuevas variables canónicas con las condiciones iniciales

$$ \tag{5} X~\equiv~x_0 \quad\text{and}\quad P~\equiv~v_0 . $$

Por lo tanto tenemos

$$\etiqueta{6} \frac{\partial S}{\partial x}~\stackrel{(3)}{=}~p ~\stackrel{(4)}{=}~v_0 +\frac{t^2}{2} \quad\text{y}\quad \frac{\partial S}{\partial v_0}~\stackrel{(3)+(5)}{=}~x_0 ~\stackrel{(4)}{=}~x - v_0 t -\frac{t^3}{6}. $$

Eq. (6) tiene la solución completa

$$\tag{7} S(x,v_0,t)~=~(v_0 +\frac{t^2}{2})x- \frac{v_0^2 t}{2} -\frac{v_0t^3}{6} +S_0(t)$$

para algunos la función $S_0(t)$, lo que puede depender sólo de la variable de tiempo de $t$. La inserción de eq. (7) en el Hamilton-Jacobi ecuación rendimientos

$$\frac{v_0^2 }{2}+\frac{v_0t^2}{2} -tx -\frac{\partial S_0}{\partial t} ~\stackrel{(7)}{=}~-\frac{\partial S}{\partial t}$$ $$\tag{8} ~\stackrel{\text{HJ eq.}}{=}~H~=~\frac{p^2}{2} -tx~\stackrel{(4)}{=}~\frac{1}{2}\left(v_0 +\frac{t^2}{2}\right)^2-tx,$$

lo que conduce a

$$\tag{9} S_0(t) = -\frac{t^5}{40} $$

además de un irrelevante integración constante.