Dejemos que $A$ ser un $K$ -y el álgebra $B=A/\operatorname{rad} A$ , donde $\operatorname{rad}A$ es el radical de $A$ (intersección de todos los ideales máximos derechos de $A$ ). Sea $e$ sea un idempotente de $A$ y $\bar{e}=e+\operatorname{rad} A$ . Cómo demostrar que $eA/\operatorname{rad} eA$ es isomorfo a $\bar{e}B$ ? Tenemos $\bar{e}B=(e+\operatorname{rad} A)(A/\operatorname{rad} A)$ . Los elementos en $\bar{e}B$ es de la forma $ea+\operatorname{rad} A$ , donde $a \in A$ . Pero los elementos de $eA/\operatorname{rad} eA$ es de la forma $ea+\operatorname{rad} eA$ , donde $a \in A$ . Esta pregunta surge de la lectura del libro (página 21, línea 1 de la prueba de la Proposición 4.5 del libro Elementos de la teoría de la representación de las álgebras asociativas: Volumen 1 ). Otra cuestión es cómo demostrar que $\operatorname{rad} eA = eA \operatorname{rad} A = e \operatorname{rad} A$ ? Muchas gracias.
Respuesta
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Precuela: Cómo demostrar que $\operatorname{rad}eA=eA\operatorname{rad} A=e\operatorname{rad}A\subseteq \operatorname{rad} A$ ?
Las dos últimas (in)igualdades se derivan del hecho de que $\operatorname{rad}A$ es un ideal de izquierda. Para la primera igualdad basta con observar que $\operatorname{rad} A=\operatorname{rad} eA\oplus \operatorname{rad} (1-e)A$ (de hecho sostiene que $\operatorname{rad}$ es compatible con toda descomposición de suma directa) Además, observe que $A\operatorname{rad} A=\operatorname{rad} A$ y que $A\operatorname{rad} A=eA\operatorname{rad} A\oplus (1-e)A\operatorname{rad} A$ (de hecho, esta compatibilidad se mantiene para toda descomposición de la suma directa). Ahora bien, si compones todas estas igualdades y utilizas que se trata de una descomposición de suma directa obtienes el resultado. (Se pueden encontrar más detalles en el caso de los módulos de la izquierda, por ejemplo, en Ringel, Schröer: Teoría de la representación de las álgebras I .
Respuesta original: Asumo (ahora) que sabes lo siguiente: $\operatorname{rad} eA=e\operatorname{rad} A\subseteq \operatorname{rad} A$ .
A continuación, defina sólo los mapas obvios entre $e(A/\operatorname{rad} A)$ y $eA/\operatorname{rad} eA$ .
Si sólo hay que demostrar que están bien definidos (que son mutuamente inversos y $A$ -homomorfismos de módulos es bastante obvio).
Supongamos que $ea+x=eb+y$ con $a,b\in A$ , $x,y\in \operatorname{rad} A$ . Entonces $e(ea+x)=e(eb+y)$ Por lo tanto $ea+ex=eb+ey$ y por lo tanto $ea=eb \mod \operatorname{rad} eA$ .
Para la otra dirección supongamos $ea+ex=eb+ey$ . Entonces, como $ex, ey\in \operatorname{rad} A$ también el mapa inverso está bien definido.
