Demuestra que el núcleo es de dimensión 2

Question

"Experimentalmente", me encontré con que el núcleo (espacio nulo) de la siguiente matriz es de dimensión 2. Me gustaría probarlo, pero no ha logrado aún: \begin{equation} \text{for almost all } t>0,\quad \text{dim}\,\text{ker}\left(\mathbf{Q}_2\mathbf{Q}_1(t)-\mathbf{Q}_1(t)^{-1}\mathbf{Q}_2\right)\overbrace{=}^?\;2 \end{equation}

donde:

• $\mathbf{Q}_2$ es la matriz de identidad en todas partes excepto en $(2n,2n)$: \begin{equation} \mathbf{Q}_2=\begin{bmatrix} 1 & & \\ & \ddots & \\ & & 1 & \\ & & & -1 \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{2n\times2n} \end{equation}

• $\mathbf{Q}_1(t)$ está definido por:

\begin{equation} \forall t>0,\quad\mathbf{Q}_1(t)=\begin{bmatrix}\textbf{cos}(\boldsymbol \Omega t) & \boldsymbol \Omega^{-1}\,\textbf{sin}(\boldsymbol \Omega t) \\ -\boldsymbol \Omega\,\textbf{sin}(\boldsymbol \Omega t) & \textbf{cos}(\boldsymbol \Omega t)\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{2n\times2n} \end{equation} donde (... lo siento...): \begin{equation} \boldsymbol\Omega=\begin{bmatrix} \omega_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \omega_n \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{n\times n},\quad \forall i\en\lbrace 1,\dots, n\rbrace, \omega_i>0 \end{equation}

y los cuatro bloques de la diagonal, por ejemplo: \begin{equation} \mathbf{cos}(\boldsymbol\Omega t)=\begin{bmatrix} \cos(\omega_1t) & & \\ & \ddots & \\ & & \cos(\omega_n t) \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{n\times n} \end{equation}

---

Propiedades interesantes de $\mathbf{Q}_1$ $\mathbf{Q}_2$:

Obviamente, $\mathbf{Q}_2$ es invertible y $\mathbf{Q}_2=\mathbf{Q}_2^{-1}$.

También, $\det(\mathbf{Q}_1)=1$ ($\omega_i>0$ y adecuado de las $t>0$) y: \begin{equation} \mathbf{Q}_1(t)^{-1}=\begin{bmatrix}\textbf{cos}(\boldsymbol \Omega t) & -\boldsymbol \Omega^{-1}\,\textbf{sin}(\boldsymbol \Omega t) \\ \boldsymbol \Omega\,\textbf{sin}(\boldsymbol \Omega t) & \textbf{cos}(\boldsymbol \Omega t)\end{bmatrix} \end{equation}

La ecuación inicial por lo tanto puede también ser escrita como: \begin{equation} \text{ker}\left(\mathbf{Q}_2\mathbf{Q}_1(t)-\mathbf{Q}_1(t)^{-1}\mathbf{Q}_2\right)=\text{ker}\left(\mathbf{Q}_2\mathbf{Q}_1(t)\mathbf{Q}_2\mathbf{Q}_1(t)-\mathbf{1}_{2n}\right) \end{equation}

Así que otra manera de resolver el problema es demostrar que 1 es un autovalor de a$\mathbf{Q}_2\mathbf{Q}_1(t)\mathbf{Q}_2\mathbf{Q}_1(t)$, con una multiplicidad de 2. Pero no estoy seguro de que esto le ayuda...

Las pistas que sería muy apreciada.

Answer 1

OK. He aquí una mitad del horno tipo de respuesta.

En primer lugar, la re-orden de los índices (es decir, realizar un cambio de base en el que el cambio es simplemente un shuffle): Grupo de índices 1 y n+1, luego 2 y n+2, y así sucesivamente. Una vez que hayas hecho esto, su matriz $Q_1$ es sólo un montón de $2 \times 2$ matrices de abajo de la diagonal. $Q_2$ no cambia en absoluto. Sospecho que un típico $2 \times 2$ block $M$ $Q_1$ tiene la propiedad de que para casi todos los $t$, $M - M^{-1}$ es nonsingular, por lo que no hay nullvectors que allí se encuentran. Tan sólo el último $2 \times 2$ bloque es muy interesante. Usted puede comprobar esto; tal vez yo lo he entendido mal la forma de las matrices un poco.

Nota: Su "sugerencia" de la sección tiene una fórmula que se muestra para $Q_1$ que se ve mal; creo que esta es la fórmula para $Q_1^{-1}$.

EDITAR por el OP Vamos a ilustrar esta solución con $n=2$: una vez que los índices de reordenar,$Q_2$ escribe: \begin{equation} \begin{bmatrix}\mathbf{M}_1 & 0 \\ 0 & \mathbf{M}_2\end{bmatrix} \end{equation} donde \begin{equation} \mathbf{M}_i = \begin{bmatrix} \cos(\omega_i t) & -\dfrac{1}{\omega_i}\sin(\omega_i t) \\ \omega_1\sin(\omega_i t) & \cos(\omega_i t)\end{bmatrix} \end{equation}

Cuando se introduce en $Q_2Q_1-Q_1^{-1}Q_2$, el único bloque que es singular, es el último: \begin{equation} \begin{bmatrix} 1 &0\\ 0 & -1\end{bmatrix}\mathbf{M}_n - \mathbf{M}_{n}^{-1}\begin{bmatrix} 1 &0\\ 0 & -1\end{bmatrix} \end{equation} que es... igual a $\mathbf{0}_2$!

Así que la conjetura era bueno para $t$ s.t. $Q_2$ es no singular.