Desigualdad de AM-GM: $\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{d} + \frac{d^2}{a} \geq a + b + c + d$

Question

<blockquote> <p>Que $a, b, c, d > 0$. Demostrar que $\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{d} + \frac{d^2}{a} \geq a + b + c + d$.</p> </blockquote> <p>Debo para demostrarlo de AM-GM, pero no veo cómo. Cualquier ayuda sería apreciada.</p>

Answer 1

Utilizando esta desigualdad es probablemente la manera más rápida $$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{d}+\frac{d^2}{a}\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{b+c+d+a}=a+b+c+d$ $

De lo contrario, utilizando AM-GM tenemos: $$\frac{a^2}{b}+b+\frac{b^2}{c}+c+\frac{c^2}{d}+d+\frac{d^2}{a}+a \geq 2\sqrt{\frac{a^2}{b}b}+2\sqrt{\frac{b^2}{c}c}+2\sqrt{\frac{c^2}{d}d}+2\sqrt{\frac{d^2}{a}a}=2(a+b+c+d)$ $

Answer 2

% De AM-GM $\frac{a^2}{b}+b\geq2a$.

¡Así, $\sum\limits{cyc}\frac{a^2}{b}\geq\sum\limits{cyc}(2a-b)=\sum\limits_{cyc}a$ y hemos terminados!