¿Kaplansky ' teorema s de infinitamente muchos inversos derecho de monoids?

Question

Hay un teorema de Kaplansky, que afirma que si un elemento $u$ de un anillo tiene más de un derecho inversa, entonces, de hecho, tiene una infinidad de. Podía probar esta asumiendo $v$ es un derecho inversa y, a continuación, que muestra que los elementos $v+(1-vu)u^n$ son derecho de los inversos de todos los $n$ y distinta.

A ver son distintas, supongo que $v+(1-vu)u^n=v+(1-vu)u^m$ diferentes $n$$m$. Supongo que $n>m$. Desde $u$ es cancelable a la derecha, esto implica $(1-vu)u^{n-m}=1-vu$. A continuación,$(1-vu)u^{n-m-1}u+vu=((1-vu)u^{n-m-1}+v)u=1$, lo $u$ ha dejado inversa, pero, a continuación, $u$ sería una unidad, y por lo tanto sólo tienen un derecho inversa.

Hace el mismo teorema de mantener en monoids, o hay algún contraejemplo?

Answer 1

No. La libre contraejemplo es el monoid $M$ generado por tres elementos $x, a, b$ donde $xa = xb = 1$ e imponemos ninguna otra de las relaciones. Sus elementos pueden concretamente ser descrito como palabras en el alfabeto $\{ x, a, b \}$ que $x$ nunca aparece a la izquierda de $a$ o $b$ con la obvia la composición y en este monoid $a$ $b$ son el único derecho de los inversos de las $x$. (El punto es que cada elemento de la monoid tiene única forma normal de longitud mínima y es sencillo encontrar una forma normal de los productos de $x$ y otro elemento en forma normal; si el otro elemento comienza con $a$ o $b$ luego cancelamos y de lo contrario no podemos seguir cancelando.)

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Mi primer intento de escribir un contraejemplo error muy mal:

• Fue conmutativa. Este no puede trabajar, porque inversos son de izquierda, invierte en una propiedad conmutativa monoid.
• Era finito. Este no puede trabajar, porque finito monoids actos fielmente en finito de conjuntos (es decir, a sí mismos), así que justo inversos son inversos en este caso.
• Cada elemento fue idempotente. Este no puede trabajar debido a la no-identidad idempotents nunca haga invertible: si $x^2 = x$$xy = 1$,$1 = xy = x^2 y = x$.