Yo realmente no puedo entender cómo abordar el ejercicio 41.
He probado comparando el 5 º término de la expansión binomial y algo como eso, pero conseguir 12 5, creo que la respuesta debe ser 13 6. ¿Cómo acercarse a?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Considerar el número de soluciones integrales no negativos a $X_1 + X_2 + X_3 .. + X_7 = 7$. Esto debe ser igual a $\binom{7+ 7 - 1}{7 - 1} = \binom{13}{6}$.
Estas soluciones también pueden ser contadas como sigue:
Caso 1: Que $X_1 + X_2 + X_3 = 0$ y $X_4 + X_5 + X_6 + X_7 = 7$. El número combinado de soluciones para estos es $\binom{2}{2} \cdot \binom{10}{3}$
Caso 2: Dejar que $X_1 + X_2 + X_3 = 1$ y $X_4 + X_5 + X_6 + X_7 = 6$. El número combinado de soluciones para estos es $\binom{3}{2} \cdot \binom{9}{3}$.
. . .
Caso 8: Dejar que $X_1 + X_2 + X_3 = 7$ y $X_4 + X_5 + X_6 + X_7 = 0$. El número combinado de soluciones para estos es $\binom{9}{2} \cdot \binom{3}{3}$.
Así, conseguimos que %#% $ #%
N. F. Taussig
Puntos
8718
Queremos mostrar que $$\sum_{k = 2}^{9} \binom{k}{2}\binom{10 - k}{3} = \binom{13}{6}$$
El lado derecho cuenta con seis elementos de los subconjuntos del conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}$.
El lado izquierdo de la cuenta seis elementos de los subconjuntos del conjunto cuyo tercer elemento es $k + 1$. Para ver esto, observe que si el tercer elemento es $k + 1$, se debe elegir dos de las $k$ elementos más pequeños que $k + 1$ y tres de la $13 - (k + 1) = 12 - k$ elementos de más de $k + 1$. Por lo tanto, el número de subconjuntos de tamaño seis cuyo tercer elemento es $k + 1$ es $$\binom{k}{2}\binom{10 - k}{3}$$ Para $k + 1$ el tercer elemento más grande, $k$ debe ser de al menos $2$ y en la mayoría de las $9$ ya que no se debe ser al menos de dos números menores que $k + 1$ y al menos tres números más grandes de $k + 1$. Ya que cada seis elemento subconjunto del conjunto tiene un tercer elemento, el número de los seis elementos de los subconjuntos del conjunto es $$\sum_{k = 2}^{9} \binom{k}{2}\binom{10 - k}{3}$$ Por lo tanto, la identidad se mantiene.
Farrukh Ataev
Puntos
21
Método numérico.
La suma es igual a $1716$.
Ahora queremos encontrar $x,y$ en: $$\frac{x!}{y!(x-y)!}=1716=2^2\cdot 3\cdot 11\cdot 13=\frac{2^3\cdot 3\cdot 11\cdot 13}{2!}=\frac{2^3\cdot 9\cdot 11\cdot 13}{3!}=\frac{2^5\cdot 9\cdot 11\cdot 13}{4!}=$ $ $$\frac{2^4\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 13}{5!}=\frac{8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13}{6!}=\frac{13!}{6!\cdot 7!}=\frac{13!}{6!\cdot (13-6)!}.$ $
Por lo tanto: $x+y=13+6=19$.
