Derivada de una función con respecto a otra función.

Question

Quiero calcular la derivada de una función con respecto a, no una variable, sino con respecto a otra función. Por ejemplo: $$g(x)=2f(x)+x+\log[f(x)]$$ Quiero calcular $$\frac{\mathrm dg(x)}{\mathrm df(x)}$$ ¿Puedo tratar $f(x)$ como una variable y derivar "a ciegas"? Si es así, obtendría $$\frac{\mathrm dg(x)}{\mathrm df(x)}=2+\frac{1}{f(x)}$$ y tratar el simple $x$ como un parámetro cuya derivada es cero. ¿O debo considerar otras reglas de derivación?

Answer 1

$$\frac{dg(x)}{df(x)} = \frac{dg(x)}{dx} \cdot \frac{1}{f'(x)} = \frac{g'(x)}{f'(x)}$$

En tu ejemplo,

$$g'(x) = 2f'(x) + 1 + \frac{f'(x)}{f(x)}$$

Entonces:

$$\frac{dg(x)}{df(x)} = \frac{2f'(x) + 1 + \frac{f'(x)}{f(x)}}{f'(x)} = 2 + \frac{1}{f'(x)} + \frac{1}{f(x)}$$

Answer 2

No puedes. Tienes que derivar $f(x)$ como función.

$g'(x) = 2f'(x) + 1 + {f'(x) \over f(x)}$

EDITAR: Lo siento, eso haría que $dg(x) \over dx$, Deepak tiene razón.

Answer 3

Podrías si fuera una función de $f(x)$. Pero no lo es, debido al término $x.