Mapa de retroceso y transposición

Question

Maifolds dados $M,N$ y un mapa suave $\phi:M \to N$ y una función suave $f:N \to \mathbb{R}$ tenemos el pullback de $\phi$ por $f$ para ser la función $\phi^* f = f \circ \phi : M \to \mathbb{R}$ . Del mismo modo, dado un mapa lineal $T:V \to W$ obtenemos un mapa de transposición $T^*: W^* \to V^*$ tal que $T^*g = g \circ T$ . Acabo de notar que estas ideas son realmente similar. ¿Hay algo más "en marcha"? No puede ser una coincidencia, ya que los matemáticos han decidido utilizar básicamente la misma notación.

Mi pregunta es: ¿existe una forma general de encapsular este concepto? Imagino (quizás incorrectamente) que tal respuesta implicaría teoría de categorías (conozco el llamado "functor dual" asociado a los espacios vectoriales, que entiendo está relacionado con este tema) Si es posible, ¿podría alguien indicarme una referencia sin demasiada teoría de categorías? Gracias.

p.d. cualquier referencia sería buena, así que incluso si contienen toneladas de teoría de categorías, está bien.

Answer 1

Ambos son ejemplos de funtores hom contravariantes . Dada una categoría $\mathcal{C}$ y un objeto $X$ se puede definir un functor $\text{Hom}(\bullet,X):\mathcal{C}\to\mathbf{Set}$ definidos en los objetos por $\text{Hom}(\bullet,X)=\text{Hom}(Y,X)$ y definido en los mapas por $Y\xrightarrow{f}Z$ va a $f^\ast:\text{Hom}(Z,X)\to\text{Hom}(Y,X)$ dado por $f^\ast(g)=g\circ f$ .

En su ejemplo con los colectores está tratando la categoría $\mathbf{Man}$ de los colectores lisos y eres objeto $X$ es $\mathbb{R}$ --así que el functor de retroceso es $\text{Hom}(\bullet,\mathbb{R})$ .

De hecho, en tu ejemplo de espacio vectorial (asumiendo que te refieres a espacios vectoriales reales) también estás tratando con el functor hom contravariante asociado a $\mathbb{R}$ (ahora pensado como un espacio vectorial en lugar de un colector suave). En particular, se trabaja con la categoría $\mathbf{Vect}_\mathbb{R}$ de $\mathbb{R}$ -espacios y su objeto $X$ es $\mathbb{R}$ .

Tenga en cuenta que en AMBOS casos su functor realmente no va de una categoría a $\mathbf{Set}$ sino a $\mathbf{Vect}_\mathbb{R}$ (el espacio dual $V^\ast$ es un espacio vectorial, así como $C^\infty(M)$ ). Esto es un fenómeno de estos ejemplos en particular y no ocurre siempre.

Una buena referencia para la teoría básica de las categorías es Awodey . Dado que este es realmente un concepto categórico, no sé qué referencia de teoría no categórica tendría sentido.