En ¿por qué tenemos $dy = f'(x)dx$?

Question

Estoy siguientes ecuaciones diferenciales Ordinarias por Tenenbaum.

Página 48

El diferencial se define como: $$dy(x,\Delta x) = f'(x) \Delta x$$

Nota: se desea aplicar esta definición a la función definida por $y = x$. Por lo tanto, con el fin de distinguir entre la función definida por $y = x$ y la variable x, se coloca el símbolo de $\hat{}$ sobre la x de modo que: $y = \hat{x}$ va a definir la función que asigna a cada valor de la variable independiente x el mismo valor para la variable dependiente y.

(en un plano Cartesiano una línea horizontal?)

Teorema 6.2 Si,

$$y = \hat{x}$$ then $$dy(x,\Delta x)= (d\hat{x})(x,\Delta x) = \Delta x$$

Inmediatamente después de esto viene la cosa que no se entiende claramente, el libro dice:

Comentario 6.3: Reemplazar el valor encontrado para $\Delta x$ (del teorema 6.2) en la definición de diferencial, obtenemos: $$dy(x,\Delta x)= f'(x)(d\hat{x})(x,\Delta x) $$

... esta relación es la correcta, pero en el transcurso del tiempo, esto se convirtió en costumbre de escribirlo en la forma familiar: $$dy = f'(x)dx$$

El libro, a continuación, procede a utilizar esta fórmula (que sé que es correcto) en cualquier caso.

Pero no esta fórmula sólo es relevante en el caso de $y = \hat{x}$ debido a que se encontró apoyándose en el teorema 6.2 que sólo es válido si $y = \hat{x}$?

Answer 1

Esto es algo que yo llamaría "tonto notación". Este es, en esencia, una referencia a la geometría diferencial.

Normalmente, en la licenciatura de matemáticas, un vector sólo significa "la magnitud y dirección." En geometría diferencial, un "vector tangente" es un vector dirigido desde un punto fijo. Diferenciales (o, en el elegante términos, "diferencial de 1-formas") son interpretadas como funciones de estos vectores de tangentes.

En este caso, si dejamos $\vec{v}_x$ donde $x$ es un número real y $\vec{v}=\Delta x$ (de modo que $\vec{v}$ es un vector que apunta desde $x$ con magnitud y dirección $\Delta x$), $$\mathrm{d}y(\vec{v}_x)=\mathrm{d}f(\vec{v}_x)=f'(x)\,\mathrm{d}x(\vec{v}_x)=f'(x)\Delta x.$$

Usted puede encontrar una buena introducción, que creo que la mayoría de los estudiantes de pregrado que han tenido un fuerte conjunto de cursos de cálculo será capaz de trabajar a través de, en Michael Spivak del Cálculo de los Colectores. Esto también se aplica para "$u$-sustitución", ya que, si hacemos uso de formas diferenciales, sustitución o cambio de variables en general) puede ser dicho de manera muy simple como, por $f:M\to N$ una orientación de la preservación de diffeomorphism, $$\int\limits_{N}\beta=\int\limits_{M}f^*\beta,$$ where $\beta$ is a differential form and $f^*\beta$ is the pullback of $\beta$ by $f$.

En cuanto a la cuestión específica de si la interpretación que se le da sólo funciona para $y=\hat x$, la respuesta es no. Desde $x=\hat x$, por definición, sus diferenciales de la misma. El $y$ en la fórmula no es la $y=\hat x$.

Answer 2

El problema se deriva de utilizar dos letras diferentes, a saber,$y$$f$, para el mismo objeto.

Para una función arbitraria $f$ hemos $$df(x).\Delta x=f'(x)\>\Delta x,\tag{1}$$ porque $$f(x+\Delta x)-f(x)=f'(x)\>\Delta x + o(|\Delta x|)\qquad(\Delta x\to0)\ .$$ Al $f$ es la función identidad $\hat x:\>x\mapsto x$ ${\mathbb R}$ tenemos $$\hat x(x+\Delta x)-\hat x(x)=\Delta x + 0\qquad(\Delta x\to 0)\ ;$$ de dónde $$d\hat x(x).\Delta x=\Delta x\qquad\forall x\in{\mathbb R}, \ \forall \Delta x\in{\mathbb R}\ .$$ Comparando con $(1)$ vemos que se cumple lo siguiente: $$df(x).\Delta x=f'(x)\ d\hat x.\Delta x\qquad\forall x\in{\mathbb R}, \ \forall \Delta x\in{\mathbb R}\ .$$ La última ecuación dice que las dos funciones de dos variables!) $df$ $d\hat x$ están relacionados por la ecuación $$df=f'(x)\>d\hat x$$ (tenga en cuenta que $f'(x)$ es un escalar aquí). Cuando omitimos el sombrero y el uso de $x$ no sólo para la variable de puntos en ${\mathbb R}$, pero así como el nombre de la identidad de la función en ${\mathbb R}$, obtenemos la famosa relación $$df=f'(x)\>dx\ .$$ Esto no es una oscura relación entre infinitesimals, pero la expresión de $df$ como un escalar (dependiendo $x$) múltiples de $dx$.