Me preguntaba por qué $$Ax+By+Cz=D$$ representa un plano en $\mathbb{R}^3$ porque, desde mi punto de vista, parece que también podría representar simplemente una línea en $\mathbb{R}^3$ . Y, sí, reconozco que las líneas no son tridimensionales, pero seguramente podemos tener líneas en un espacio tridimensional.
Si quieres una línea en tres dimensiones necesitas dos tales ecuaciones. La razón es que una línea es un objeto unidimensional, por lo que hay que aplicar dos restricciones para reducir el espacio tridimensional a un objeto unidimensional. Si sólo se aplica una única restricción, se obtiene $3-1= 2$ grados de libertad, quedando un objeto bidimensional, en este caso un plano.
En general, en un $n$ espacio dimensional, tendrá que escribir $n-1$ ecuaciones para describir una línea, $n-2$ para describir un plano, etc.
N.B. Esto, por supuesto, tiene una conexión con el álgebra lineal: Si tenemos $n-k$ ecuaciones lineales independientes, el rango de la matriz en la ecuación matricial resultante es $n-k$ y por lo tanto la dimensión del espacio nulo debe ser $k$ . En otras palabras, el objeto descrito es abarcado por $k$ vectores.
@ReinhildVanRosenú - En términos generales, "un grado de libertad" = una variable. Por ejemplo el punto $(6,7,9)$ tiene cero grados de libertad, pero el conjunto de todos los puntos $(x,y, 0)$ tiene dos y describe un plano en $\mathbb{R}^3$ .
Si conoce el producto punto, la ecuación anterior puede escribirse como (suponga $C\neq 0$ )
$$ \langle A, B, C\rangle \cdot \langle x, y, z - \frac{D}{C}\rangle = 0$$
Así, $(x, y, z)$ satisface $Ax+By+Cz = D$ si y sólo si el vector de $(0,0,\frac{D}{C})$ a $(x, y, z)$ es perpencidular a $\langle A, B, C\rangle$ . El conjunto de todos estos $(x, y, z)$ será un plano que pasa por $(0, 0, \frac DC)$ con normalidad $\langle A, B, C\rangle$ .
¿qué tal si lo escribes de otra forma como $Ax + By = D - Cz$ y tratar z como una constante.
Si $z = 0$ obtenemos una línea, si $z=1$ tenemos otra línea.
Cuando el cambio $z$ de menos infinito a infinito positivo. Tenemos muchas líneas, lo que las convierte en un hiperplano. Tal vez puedas dibujarlas en un papel.
Lo siento, pero no entiendo cómo podemos pasar mágicamente de tener una línea a dos líneas simplemente haciendo z=1 como constante.
Tomar un libro, ver el libro como un cubo en 3 dimensiones. Cada página como un plano 2-d xy y z es el número de páginas. Entonces para cada z de 1 a n, se puede dibujar una línea en cada página.
Trivialmente, si $A = B = C = 0$ entonces el conjunto de soluciones será todo $\Bbb R^3$ (si $D = 0$ ) o el conjunto vacío (si $D \neq 0$ ).
Entonces, supongamos que no, es decir, que al menos uno de $A, B, C$ es distinto de cero; reetiquetando si es necesario, $C$ es. La reordenación da $$z = -\frac{A}{C} x - \frac{B}{C} y + \frac{D}{C},$$ por lo que el conjunto solución es la gráfica de una función afín de $x, y$ y, por tanto, es un plano.
Una puede especificar una línea mediante un par adecuado de tales ecuaciones, $$A_i x + B_i y + C_i z = D_i, \qquad i = 1, 2.$$ (Este sistema define una línea si (1) al menos una de $A_i, B_i, C_i$ es distinto de cero, tanto para $i = 1, 2$ y (2) los vectores de coeficientes ${\bf A}_1 := (A_1, B_1, C_1), {\bf A}_2 := (A_2, B_2, C_2)$ son linealmente independientes. La condición (2) es equivalente a ${\bf A}_1 \times {\bf A}_2 \neq 0$ . De hecho, la línea es paralela a ese producto cruzado).
Espero que no te sorprenda que $z=0$ describe la $(x,y)$ -plano: todos los puntos $(x,y,0)$ en el espacio; ni que $y=0$ describe la $(x,z)$ -plano: todos $(x,0,z)$ en el espacio. Lo que línea ¿podría alguna de estas ecuaciones describir?
En realidad, hay una forma de describir una línea en el espacio mediante una sola ecuación, siempre que se trate de real sólo puntos, pero es una trampa. La ecuación $y^2+z^2=0$ describe la $x$ -porque para los números reales, la única manera de que una suma de cuadrados sea cero es que cada uno de los sumandos sea cero, por lo que esta ecuación se reduce a $y^2=0$ junto con $z^2=0$ En otras palabras $y=0$ y $z=0$ .
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
2 votos
Mira $z = y - x$ . Cuando $z = 0$ , usted tiene $y = x$ . Este es el aspecto de la curva en el $xy$ plano. El aumento de los valores de $z$ , usted tiene $y = x + z$ una colección de líneas. Claro que puedes tener líneas en $\mathbb{R}^3$ pero habría que parametrizarlos.
1 votos
Recordemos que un plano tiene dos "grados de libertad", mientras que una línea sólo tiene un "grado de libertad".
0 votos
Puede pensar que en $\mathbb{R}^3$ una línea es la intersección de dos planos.
0 votos
Otra forma de verlo: cualquier ecuación pone una condición a los posibles valores de (x, y, z), que deben satisfacer esa ecuación. Una ecuación, que debe ser satisfecha por todos los (x, y, z), reduce la dimensión del conjunto en 1. En el plano, que tiene dimensión 2, una ecuación lo reduce a la dimensión 2- 1= 1, una línea. $R^3$ tiene dimensión 3 por lo que una ecuación reduce eso a 3- 1= 2 dimensiones, un plano.
0 votos
Plano 2D, es decir, conjunto de líneas en el espacio 3D para diferentes valores de Z.