Esto es de un trabajo de ingeniería sobre los colectores riemannianos y confieso que es mi primera experiencia con colectores. Este es el problema:
Dejemos que $\mathcal{M}\subset \mathbb{R}^2$ sea una elipse de eje mayor y menor fijos. Digamos que la incrustación es $x=a\cos(\theta)$ y $y=b \sin(\theta)$ . Dejemos que $f(\theta): \mathcal{M} \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función suave sobre la elipse. Quiero saber cuál es el gradiente y el hessiano de Riemann de $f$ será (utilizando coordenadas locales).
Mi intento:
El jacobiano es $D=[-a \sin(\theta), b \cos(\theta)]^T$ por lo que la métrica heredada es $g_{1,1}=D^tD=a^2\sin^2(\theta)+b^2 \cos^2(\theta)$ . Ahora el gradiente debe ser $\Delta f= g^{1,1}\frac{d}{d\theta}=\left(a^2\sin^2(\theta)+b^2 \cos(\theta)\right)^{-1} \frac{df}{d\theta}$ . Aquí el superíndice es para la inversa.
Para el hessiano de Riemann creo que debería ser simplemente $\frac{d^2}{d\theta^2}$ pero no sé cómo calcularlo.
Mi intuición en este problema es que debería coincidir con el resultado del cambio de coordenadas: Escribiendo el gradiente como $\left(\frac{df}{dx}, \frac{df}{dy}\right)$ y luego utilizando la regla de la cadena. Del mismo modo, para la matriz hessiana $H_{i,j=1}^2=\frac{d^2f}{dx^idx^j}$ donde $x^1=x, x^2=y$ . Sin embargo, las respuestas que obtuve no coinciden con eso. Si ayuda a resolver el problema, ten en cuenta que eventualmente espero verificar que la traza del hessiano es la de Laplace-Beltrami, que tampoco he calculado aún pero espero poder hacerlo después de resolver esto.
